1. Общее резервирование.

П ри общем резервировании (рис. 5.1.) систему можно рассматривать как па­раллельное соединение (k+1)-й подсистемы, где каждая подсистема состоит из n последовательно соединенных элементов.

Таким образом, функция отказа резервированной системы  

_n

q_s (t) = (q_s(t))^k+1 = (1 - П p_i(t))^k+1 ,

ⁱ⁼¹

а функция надежности равна

_n

p_s^(r)(t) = 1 - (1 - П p_i(t))^k+1.

ⁱ⁼¹Если все элементы системы имеют одинаковую надежность p(t), то

p_s^(r)(t) = 1 - (1 - pⁿ(t))^k+1.

Если все элементы системы имеют постоянные интенсивности отказов _i, i=1,2,...,n, то нерезервированная система имеет постоянную интенсивность отказов _s=₁+₂+...+_n, и средняя наработка системы при общем резервировании с целой кратностью k равна

2. Раздельное резервирование.

П ри раздельном резервировании систему можно рассматривать как последовательное соедине­ние n подсистем, где каждая система состоит из (k+1) параллельно соединенных элементов.

Таким образом, функция надежности системы с раздельным ре­зервированием

_n

p_s^(r)(t) = П (1 - (1 - p_i(t))^k+1).

ⁱ⁼¹

Если все элементы системы имеют одинаковую надежность p(t), то

p_s^(r)(t) = (1 - (1 - p(t))^k+1)ⁿ.

Надежность систем при резервировании замещением

а) резервирование с целой кратностью, когда резервированная система содержит один основной элемент и k резервных. Такое резервиро­вание называется резервированием кратности k.

б) резервирование со скользящим резервом, при котором система содержит n последовательно соединенных основных элементов и k резервных. При этом любой из резервных элементов может заменить любой из основных. Такое резервирование называется резервированием кратности k/n.

А. Горячий резерв.

А1. Резервирование кратности k.

Система работает до тех пор , пока не откажут все элементы, и ее можно рассматривать как параллельное соединение (k+1)-го элемента. Следовательно, функция надежности

p_s^(r)(t) = 1 - (1 - p(t))^k+1.

Если все элементы имеют постоянную интенсивность отказов , то средняя наработка резервированной системы равна

А2. Резервирование кратности k/n.

Система будет работать до тех пор, пока из всех элементов, как основных, так и резервных, будут работать хотя бы n. Поэтому в случае горячего резерва систему можно рассматривать как струк­туру типа «n из n+k».

Следовательно,

_n+k

p_s^(r)(t) =  Сⁱ_n+k pⁱ(t) q^n+k-i(t).

ⁱ⁼ⁿ

Если все элементы имеют постоянную интенсивность отказов , то средняя наработка резервированной системы равна

B. Холодный резерв.

B1. Резервирование кратности k.

Система функционирует следующим образом: основной элемент работает в течение некоторой случайной наработки Т₀, затем один из резервных переходит в рабочее состояние и работает в течение времени Т₁, затем включается второй резервный элемент и т.д. На­работка до отказа всей системы

Т_s = Т₀ + Т₁ + … + Т_k.

Так как в случае холодного резерва случайные величины Т₀, Т₁, ..., Т_k независимы и имеют одинаковые распределения, то средняя наработка резервированной системы равна

_s^(r) = M(T_s) = M(T₀) + M(T₁) + … + M(T_k) = (k + 1) ,

где  - средняя нара­ботка одного элемента.

Если все элементы имеют постоянную интенсивность отказов , то можно вывести, что функция надежности резервированной системы равна

B2. Резервирование кратности k/n.

О граничимся рассмотрением случая, когда все элементы имеют одинаковую постоянную интенсивность отказов .

Функционирование системы можно представить в виде графа сос­тояний на рисунке 5.3. Здесь S_{n, i} – состояние, в котором n элементов работают (среди кото­рых могут быть и резервные, переведенные в рабочее состояние), а i элементов находятся в резерве, S₀ – состояние отказа системы.

Каждое из состояний S_{n, i} имеет случайную длительность, расп­ределенную так же, как и наработка системы из n последовательно соединенных элементов с интенсивностью , т.е. наработка объекта с интенсивностью n. Поэтому у исследуемой системы надежность такая же, как у системы с холодным резервом кратности k и интенсивностью каждого элемента n. Подставив в формулы из пре­дыдущего раздела вместо  значение n, получим, что для системы с холодным резервом кратности k/n функция надежности равна

а средняя наработка до отказа

C. Теплый резерв.

Ограничимся рассмотрением случая, когда все элементы имеют постоянную интенсивность отказов. Пусть у основного элемента ин­тенсивность , у резервного элемента в резервном состоянии пос­тоянная интенсивность _r <  ; как только резервный элемент пере­ходит в рабочее состояние, значение интенсивности сразу становит­ся равным .

C1. Резервирование кратности k

Ф ункционирование системы можно представить в виде графа сос­тояний на рисунке 5.4.

Здесь S_k+1 – состояние, в котором исправны и основной, и все резервные элементы. Оно продолжается случайное время V_k+1. Какой бы элемент не отказал в этом состоянии первым: основной или ре­зервный, система в любом случае переходит в состояние S_k: один элемент основной (или резервный, но в рабочем состоянии) и k-1 резервных элементов в резервном состоянии. Случайное время пребы­вания системы в состоянии S_k обозначим V_k. После этого система переходит в состояние S_k-1 (один какой-то элемент работает, k-2 в резерве). Попав в состояние S₁, в котором работает один элемент, и резерва больше нет, система через случайное время V₁ переходит в состояние отказа S₀.

Случайная величина V_k+1 имеет такое же распределение, как и наработка до отказа системы из k+1 последовательно соединенных элементов, в которой у одного из элементов интенсивность , а у всех остальных – _r. Поэтому среднее время пребывания системы в состоянии S_k+1 равно

Аналогично,

Таким образом, для системы с теплым резервом крат­ности k средняя наработка в случае постоянной интенсивности отка­зов равна

C2. Резервирование кратности k/n

П остроим граф состояний системы (рис.5.5.). Здесь S_{n, i} – состояние, в котором n элементов находятся в рабочем состоянии, i элементов - в резервном состоянии, S₀ - состояние отказа системы.

Пусть в состоянии S_{n, i} система находится некоторое случайное время V_{n, i}, тогда наработка до отказа системы

T_s = V_{n, k} + V_{n, k-1} + ... + V_{n, 0} .

Каждая из случайных величин V_{n, i} распределена так же, как и наработка системы из n+i последовательно соединенных элементов, n из которых имеют интенсивность отказов , а i элементов - интен­сивность отказов _r.

Следовательно,

Таким образом, получаем, что для системы с теплым резервом крат­ности k/n средняя наработка в случае постоянной интенсивности от­казов равна