1. Р асчет надежности сложных систем. Сложные системы. Методы перебора состояний. Методы разложения относительно особого элемента. Метод преобразования «треугольник-звезда»

Сложные системы – системы не сводящиеся к последовательному - параллельному соединению. Работоспособность такой системы можно однозначно определить, зная состояния всех элементов системы. Пример такой системы – мостиковая схема.

Будем считать, что все элементы имеют одинаковую функцию надежности p (для упрощения формул опустим параметр t) и вероятность отказа q.

Метод перебора состояний

Число отказавших элементов	Работоспособные состояния	Вероятность состояния
0	1,2,3,4,5
1	1,2,3,4- 1,2,3,5 1,2,4,5 -1,3,4,5 2,3,4,5
2	1,2,3-1,2,4-1,3,4 1,3,5-1,4,5- 2,3,4 2,3,5-2,4,5
3	1,3 - 2,4

Состояние системы - множество работающих элементов системы.

Последовательно рассматриваются все возможные состояния системы. Выбираются те состояния, в которых система работоспособна. Для расчета надежности системы суммируются вероятности всех работоспособных состояний. Для мостиковой схемы получаем следующие работоспособные состояния (каждое состояние определяется указанием работоспособных систем) (см. табл.)

Общая надежность системы

.

Достоинством метода перебора состояний является его простота. Он относительно легко программируется. Недостатком является громоздкость. Для сложных систем с большим числом элементов метод может оказаться неприменимым из-за больших вычислительных трудностей.

Метод разложения относительно особого элемента

В системе выбирается элемент с наибольшим числом связей с другими элементами. Этот элемент называется особым (в мостиковой 5 эл-т). Обозначим надежность этого элемента , вероятность отказа через .

1) Предположим, что особый элемент работоспособен (вероятность этого ). Тогда получим новую структурную схему надежности. Говорим, что новая схема получена из исходной "замыканием" особого элемента. Надежность новой схемы .

2) Предположим, что особый элемент отказал (вероятность этого ). Тогда получим еще одну структурную схему. Говорим, что эта схема получена из исходной "обрывом" особого элемента. Надежность этой схемы Следовательно, для всей системы

.

Если после замыкания или обрыва структурная схема не сводится к последовательно-параллельному соединению, то выделяем в новой структурной схеме еще один особый элемент и т.д.

М етод преобразования "треугольник - звезда"

Д опустим, что в структурной схеме можно выделить следующий участок (соединение "треугольником"), состоящий из трех элементов с надежностью (рис.4.4.). Мы заменяем этот участок в схеме другим, состоящим из трех других элементов, имеющих некоторые надежности соединенных "звездой" (рис.4.5.). Надежность системы при этой замене не должна измениться.

В мостиковой схеме выделим элементы 1,2 и 5, расположенные "треугольникам" (рис.4.8.), и заменим их на соединение "звездой". Получим систему с последовательно-параллельным соединением (рис.4.9.)

Надежность новой системы легко рассчитать: ,

где определяется по формуле: если , то и , причем Метод замены "треугольник - звезда" является приближенным: надежность преобразованной схемы не совпадает с надежностью исходной.(Т.к. Вероятности, что связаны А и В, А и С, В и С одинаковы, как для "треугольника", так и для "звезды". Сравним вероятности, что связаны все три вершины А,В и С. Для "треугольника" все три вершины будут связаны, если работают либо все три элемента (вероятность этого ), либо если работают два элемента из трех (1 и 2, 1 и 3 или 2 и 3 - вероятность каждого случая ). Таким образом, общая вероятность будет равна .

Для "звезды" все вершины будут связаны только, если будут работать все три элемента. Таким образом, .

Вероятности и не совпадают.)