Практична робота № 6

Тема: Знаходження наближених значень визначених інтегралів.

Мета: Навчитися обчислювати визначені інтеграли з заданою точністю, вміти оцінювати похибку.

Теоретичні відомості

У методах прямокутників, Сімпсона, трапецій інтеграл на відрізку [a, b] поділяється довільно, хоча беруться рівні відрізки. Для зменшення похибки R при заданій кількості інтервалів, потрібно розташовувати кінці інтервалів там, де це необхідно з умов досягнення найвищої точності інтегрування, тобто збільшення точності, пожертвувавши волею при виборі розбивки інтервалу. Цією властивістю при заданому числі інтервалів володіє квадратурна формула Гаусса.

t_i – нулі многочлена Лежандра P_n(x).

Многочлени Лежандра: . Наприклад,

Похибка квадратурної формули Гаусса з n вузлами при умові, що x[a,b], виражається:

Слід зазначити, що якщо квадратурні формули прямокутників і трапецій з n вузлами є точними для многочлена першого ступеня, формула Сімпсона точна для многочленів третього ступеня, то квадратурна формула Гаусса точна для многочлена ступеня 2n-1. Квадратурну формулу Гаусса доцільно застосовувати при n>2 для наближеного обчислення інтегралів від функцій, що володіють високою гладкістю.

Незручність застосування квадратурної формули Гаусса полягає в тому, що ti і коефіцієнти Ci – ірраціональні числа. Цей недолік компенсується її високою точністю при порівняно малому числі вузлів.

В даний час складені таблиці значень ti і коефіцієнтів Ci квадратурної фор-мули Гаусса (4.16) до n=4096 з 20 десятковими знаками.

О бчислити інтеграл методом Гаусса при n=8

З поправкою на кінцях

Порядок виконання роботи

Побудувати графік підінтегральної функції на відрізку інтегрування та обчислити чисельне значення визначеного інтегралу:

1. за допомогою підпрограм-функцій подвійного перерахунку з використанням квадратурних формул прямокутників, трапецій, Сімпсона з точністю ε =10^-4;

2. з використанням квадратурної формули Гауса;

3. за допомогою вбудованих функцій обчислення визначеного інтегралу з точністю ε=10^-4.

Таблиця 5.1.

№ варіанта	f(x)	a	b	n
		1	2	10
		0	π/2	12
		0	π	12
		0	1	18
		0	5	16
		0	1	20
		0	π/2	12
		0	4	10
		1	2	16
		π/4	π/2	20
		4	8	8
		0	π/2	12
		1	2	20
		0	1	16
		0	2,5	10
		0	8	20
		0	π/2	12
		0	π/2	20
		0	1	10
		e	2e	16
		2	5	10
		0	π/2	20
		0	10	14
		π/4	π/2	16
		0	5	20

6. Звіт повинен містити лістинги програм та результати їх виконання.

7. Порівняти отримані значення з точним, записавши отримані результати у вигляді таблиці.