4. Линейные и приводящиеся к ним уравнения.

Линейным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Оно имеет вид: , (7.1) где P(x) и Q(x) – заданные непрерывные функции от x. Если функция , то уравнение (7.1) имеет вид: (7.2) и называется линейным однородным уравнением, в противном случае оно называется линейным неоднородным уравнением.

Линейное однородное дифференциальное уравнение (7.2) является уравнением с разделяющимися переменными: (7.3)

Выражение (7.3) есть общее решение уравнения (7.2). Чтобы найти общее решение уравнения (7.1), в котором функция P(x) обозначает ту же функцию, что и в уравнении (7.2), применим прием, называемый методом вариации произвольной постоянной и состоящий в следующем: постараемся подобрать функцию С=С(x) так, чтобы общее решение линейного однородного уравнения (7.2) являлось бы решением неоднородного линейного уравнения (7.1). Тогда для производной функции (7.3) получим:

.

Подставляя найденную производную в уравнение (7.1), будем иметь:

или .

Откуда , где - произвольная постоянная. В результате общее решение неоднородного линейного уравнения (7.1) будет (7.4)

Первое слагаемое в этой формуле представляет общее решение (7.3) линейного однородного дифференциального уравнения (7.2), а второе слагаемое формулы (7.4) есть частное решение линейного неоднородного уравнения (7.1), полученное из общего (7.4) при . Этот важный вывод выделим в виде теоремы.

Теорема. Если известно одно частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения , то все остальные решения имеют вид , где - общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Однако надо отметить, что для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка (7.1) чаще применяется другой метод, иногда называемый методом Бернулли. Будем искать решение уравнения (7.1) в виде . Тогда . Подставим найденную производную в исходное уравнение: .

Объединим, например, второе и третье слагаемые последнего выражения и вынесем функцию u(x) за скобку: (7.5) Потребуем обращения в нуль круглой скобки: .

Решим это уравнение, полагая произвольную постоянную C равной нулю: . С найденной функцией v(x) вернемся в уравнение (7.5): .

Решая его, получим: .

Следовательно, общее решение уравнения (7.1) имеет вид:

Уравнение Бернулли. Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида , (1) где n – любое число, не обязательно целое. При уравнение Бернулли превращается в линейное неоднородное уравнение. При n=1 оно превращается в линейное однородное уравнение. Таким образом, уравнение Бернулли служит некоторым обобщением линейных уравнений, в общем случае оно является нелинейным дифференциальным уравнением (при и ). Однако во всех случаях его решение тесно связано с решением линейного уравнения. Теорема. Пусть и . Тогда уравнение Бернулли (1) подстановкою сводится к решению линейного уравнения (для функции z). Замечание. Уравнение Бернулли (1) может быть решено другим способом. Введем вместо неизвестной функции две неизвестные функции и , такие, что . (7)

Подставляя это в уравнение (1), получим:

(8)

Из этого одного уравнения определить две функции u и v нельзя. Для того, чтобы определить конкретные функции и , необходимо задать еще одну зависимость между и , причем вообще говоря, произвольную.

Но проще всего положить . (9)

Тогда уравнение (8) примет вид: или, считая (или, что то же, ) . (10)

Так как есть решение однородного линейного уравнения (9), то его можно считать его известным: . (11)

Здесь, при интегрировании уравнения (8), мы положили произвольную постоянную . Это можно делать, так как за функцию мы можем взять любое решение уравнения (9).

Итак, известно. Отсюда следует, что уравнение (10) для определения будет с разделяющимися переменными (считаем ). (12)

Отсюда получаем : или (13)

Формулы (11) и (13) позволяют построить решение уравнения Бернулли

.

Такой способ решения годится и для и n=1. В этом случае только формула (13) будет иметь другой вид, именно: , где С – произвольная постоянная.

5. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Определение. Если в уравнении M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (9.1) левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде du(x,y)=0, следовательно, его общий интеграл есть u(x,y)=c.

Например, уравнение xdy+ydx=0 есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно переписать в виде d(xy)=0. Общим интегралом будет xy=c.

Теорема. Предположим, что функции M и N определены и непрерывны в некоторой односвязной области D и имеют в ней непрерывные частные производные соответственно по y и по x. Тогда, для того, чтобы уравнение (9.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество (9.2). Доказательство. Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем достаточность условия (9.2). Покажем, что может быть найдена такая функция u(x,y), что и .

Действительно, поскольку ,то

(9.3) , где - произвольная дифференцируемая функция. Продифференцируем (9.3) по y:

. Но , следовательно, .

Положим и тогда . Итак, построена функция , для которой , а .

Интегрирующий множитель.

Если уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 не является уравнением в полных дифференциалах и существует функция µ = µ(x,y), такая что после умножения на нее обеих частей уравнения получается уравнение

µ(Mdx + Ndy) = 0 в полных дифференциалах, т. е. µ(Mdx + Ndy)du, то функция µ(x,y) называется интегрирующим множителем уравнения. В случае, когда уравнение уже есть уравнение в полных дифференциалах, полагают µ = 1.

Если найден интегрирующий множитель µ, то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на µ и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах.

Если µ есть непрерывно дифференцируемая функция от x и y, то .

Отсюда следует, что интегрирующий множитель µ удовлетворяет следующему уравнению с частными производными 1-го порядка:

(10.1).

Если заранее известно, что µ= µ(ω), где ω – заданная функция от x и y, то уравнение (10.1) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией µ от независимой переменной ω: (10.2),

где , т. е. дробь является функцией только от ω.

Решая уравнение (10.2), находим интегрирующий множитель

, с = 1.

В частности уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x (ω = x) или только от y (ω = y), если выполнены соответственно следующие условия:

,

или

, .