2.Уравнения с разделяющимися переменными
Определение.
Дифференциальным уравнением с
разделяющимися переменными называется
уравнение вида
(3.1)
или
уравнение вида
(3.2)
Для того, чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными, произвести следующие действия:
;
Теперь надо решить уравнение g(y)= 0. Если оно имеет вещественное решение y=a, то y=a тоже будет решением уравнения (3.1).
Уравнение
(3.2) приводится к уравнению с разделенными
переменными делением на произведение
:
,
что позволяет получить общий интеграл
уравнения (3.2):
. (3.3)
Интегральные
кривые (3.3) будут дополнены решениями
,
если такие решения существуют.
Уравнения,
приводящиеся к уравнениям с разделяющимися
переменными.
Многие
дифференциальные уравнения путем
замены переменной могут быть приведены
к уравнениям с разделяющимися
переменными.
Уравнение вида 
, (6)
где 
и 
-
постоянные, приводится к уравнению с
разделяющимися переменными, если ввести
новую неизвестную функцию 
.
Тогда
, 
,
получим
,
-
уравнение с разделяющимися переменными.
3. Однородные и приводящиеся к ним уравнения.
Определение
1.
Уравнение 1-го порядка
называется однородным, если для его
правой части при любых
справедливо соотношение
,
называемое условием однородности
функции двух переменных нулевого
измерения.
Теорема.
Любая функция
- однородна и, наоборот, любая однородная
функция
нулевого измерения приводится к виду
.
Доказательство.
Первое
утверждение теоремы очевидно, т.к.
.
Докажем второе утверждение. Положим
,
тогда для однородной функции
,
что и требовалось доказать.
Определение
2.
Уравнение
(4.1)
в
котором M
и
N
–
однородные функции одной и той же
степени, т.е. обладают свойством
при всех
,
называется однородным.
Очевидно,
что это уравнение всегда может быть
приведено к виду
(4.2) , хотя для его решения можно этого
и не делать.
Однородное
уравнение приводится к уравнению с
разделяющимися переменными с помощью
замены искомой функции y
по формуле
y=zx,
где
z(x)
– новая искомая функция. Выполнив эту
подстановку в уравнении (4.2), получим:
или
или
.
Интегрируя,
получаем общий интеграл уравнения
относительно функции z(x)
,
который после повторной замены
дает общий интеграл исходного уравнения.
Кроме того, если
-
корни уравнения
,
то функции
- решения однородного заданного
уравнения. Если же
,
то уравнение (4.2) принимает вид
и
становится уравнением с разделяющимися
переменными. Его решениями являются
полупрямые:
.
Замечание. Иногда целесообразно вместо указанной выше подстановки использовать подстановку x=zy.
Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.
