Аналитическое исследование механизма
Для проверки точности результатов
построения планов скоростей и ускорений
найдем линейные и угловые скорости и
ускорения аналитическим методом.
Представим звенья механизма в виде
векторов, а углы их наклона указываем
от положительного направления оси Х
против хода часовой стрелки. Найдем
углы
и
.
Из треугольника ОАС по теореме косинусов
найдем
.
Из треугольника ОАС по теореме синусов
найдем угол
.
Угол
определяем из треугольника АВС по
теореме косинусов
.
Следовательно,
.
По теореме синусов определим угол
из треугольника АВС
.
Тогда
.
Вычисляем угловую скорость шатуна [1]
.
Здесь
подставляется со своим знаком.
Угловая скорость коромысла
.
Находим угловое ускорение шатуна
Угловое ускорение коромысла определяем по формуле
Сравнение результатов, полученных различными способами, говорит о том, что построения и вычислении выполнены с высокой точностью.
Известны следующие параметры механизма (рис. 1.8):
направление вращения кривошипа – против часовой стрелки.
Требуется определить линейные скорости и ускорения точек механизма, а также угловые скорости и ускорения звеньев.
Выражаем все длины звеньев в метрах:
, , , .
Определяем масштабный коэффициент длин, представляющий собой отношение действительной длины в метрах к длине отрезка на чертеже в миллиметрах. Изображаем длину кривошипа на чертеже отрезком , равным, например, 36 мм. Тогда масштабный коэффициент будет иметь величину
.
Остальные длины звеньев, изображенные на чертеже, будут иметь следующие значения
, ,
, .
Из произвольной точки О (под углом
откладываем отрезок
.
От точки О вправо откладываем расстояние
,
получая точку С. Из точки С проводим
дугу радиусом
,
а из точки А – радиусом
,
получая точку В. Точку В соединяем с
точками А и С. На продолжении линии АВ
откладываем расстояние
,
получая точку D. Далее
отмечаем положение центров масс
,
,
,
которые находятся в серединах отрезков
,
и
.
Аналогичным образом можно построить и другие положения механизма, которые отличаются величинами угла .
Построение плана скоростей
Определяем скорость точки А
.
Находим масштабный коэффициент скоростей, для чего полученную величину делим на длину вектора этой скорости, выбранную равной :
.
Из произвольной точки (полюса скоростей) проводим вектор длиной 66 мм, который перпендикулярен кривошипу ОА и направлен в сторону его вращения. Скорость точки В находим графически, используя векторные уравнения
, .
Так как скорости точек и равны нулю, то точки и помещаем в полюсе. Уравнения решаются следующим образом. Из точки проводим линию, перпендикулярную шатуну АВ, а из полюса – линию, перпендикулярную коромыслу ВС. На пересечении получаем точку , которую соединяем с полюсом, ставим стрелки, получая векторы скоростей и . Для нахождения положения точки используем отношение
,
.
Точку соединяем с полюсом, получая вектор .
Численные значения неизвестных скоростей вычисляем через масштабный коэффициент
,
.
Определяем величину угловой скорости
.
Направление скорости находим так. Мысленно перенесем вектор в точку В механизма и посмотрим, куда повернется шатун АВ, вращаясь вокруг точки А. В данном случае – против часовой стрелки. Циркулем изображаем дуговую стрелку скорости , ставя ножку циркуля в точку А.
Угловая скорость коромысла может быть найдена из выражения
.
Переносим вектор в точку В и находим, что направлена против часовой стрелки. Эту скорость отмечаем дуговой стрелкой, помещая ножку циркуля в точку С.