Xl. В лотерее разыгрывается 100 билетов, среди которых 10 – выигрышные. Студент купил 2 билета. Какова вероятность, что он ничего не выиграл?
Ответ:
Это задача на
формулу произведения вероятностей
зависимых событий. Всего имеется 90
невыигрышных билетов из 100; поэтому
безусловная вероятность не выиграть
на первый билет есть
,
после чего условная вероятность не
выиграть на второй билет есть
.
Откуда искомая вероятность получается
как:
.
XLI. Большая партия изделий содержит 1% брака. Каков должен быть объём случайной и независимой контрольной выборки, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно бракованное изделие была как минимум 0.95 ?
Ответ:
Получение выборки
можно трактовать как
опытов Бернулли, в которых "успех"
наступает с вероятностью
,
а "неудача" – с вероятностью
.
Получить за
таких опытов хотя бы один "успех"
можно с вероятностью
.
И требуется, чтобы для этой вероятности
выполнялось условие
.
Откуда, разрешая неравенство относительно
,
получаем условие:
,
где
– верхнее целое.
Xlii. Астроном в благоприятную ночь наблюдает метеорный поток на определённом участке неба, регистрируя количество пролетевших метеоритов за каждые 15 минут.
Полагая, что поток
метеоритов пуассоновский (закон
редких событий), и что в среднем можно
наблюдать
метеорита, рассчитать вероятность
наблюдать
метеоритов за данные 15 минут для
.
Результаты свести в таблицу и отобразить
графически.
Ответ:
Искомая вероятность рассчитывается по формуле Пуассона, которая в рассматриваемом частном случае даёт пуассоновский ряд распределения в форме:
. (14.1)
При этом расчёты по формуле (14.1) дают такие результаты:
Табл. 14.1
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
0.0498 |
0.1494 |
0.2240 |
0.2240 |
0.1680 |
0.1008 |
0.0504 |
0.0216 |
Графики и свойства пуассоновского ряда, типа (14.1), см., к примеру, в [2, с.442; 5].
Xliii. Студент пришёл на экзамен, зная лишь 20 вопросов из 25-ти. Преподаватель наугад дал 2 вопроса. Какова вероятность, что студент получил вопросы, которые он выучил?
Ответ:
Это задача на формулу произведения вероятностей зависимых событий. Подобно ответу на XL искомая вероятность здесь есть:
.
Xliv. Какова вероятность, что при многократном независимом бросании правильной игральной кости первая шестёрка выпадет при 3-ем бросании?
Ответ:
Рассматриваемое
в задаче событие
наступает, когда в схеме из
опытов Бернулли с вероятностью "успеха"
и "неудачи"
в первых
опытах обязательно имеет место
"неудача", и только в последнем
"успех". Откуда
– так называемое геометрическое
распределение для
.
(Формулы, графики и свойства этого
распределения см., к примеру, в [2, с.439;
5]). В итоге в числах получаем:
.
XLV. (Суммирование
ошибок округления, приводящее к
треугольному распределению Симпсона).
Найти плотность распределения
новой НСВ
,
когда слагаемые стохастически
независимы и каждое распределено по
равномерному закону:
.
/Совет: воспользоваться вспомогательным
невырожденным преобразованием
/.
Ответ:
Аналогично ответу на XV поставленная задача может быть решена, опираясь на правило трансформации совместной плотности при невырожденном преобразовании векторной НСВ.
Совместная плотность распределения системы исходных СВ в задаче образуется как произведение плотностей компонент и имеет вид:
(15.1)
Советуемое преобразование к системе новых СВ является взаимооднозначным, т.е. обладает обратным, что в терминах значений СВ выглядит как
(15.2) .
Причём модуль якобиана преобразования (15.2) равен 1.
Учитывая сказанное, совместная плотность распределения системы новых СВ по правилам трансформации плотности (см. [3, §II.4]) получается в форме
(15.3)
П
ричём
область на плоскости
,
в которой плотность (15.3) отлична от
нуля, имеет четырёхугольный вид,
показанный на рис. 15.1.
Теперь остаётся только построить требуемую безусловную плотность распределения компоненты , что из совместной плотности (15.3) образуется в виде следующего римановского интеграла:
/см. рис. 15.1/
В итоге искомая плотность получается в форме:
(15.4)
Г
рафически
плотность (15.4) имеет треугольный вид
рис. 15.2 – откуда и название этого
закона распределения. Его свойства см.,
к примеру, в [2, с.412; 5].