XXXIV. В урне находится 3 белых и 4 чёрных шара. Из урны наугад выбирается 3 шара. Какова вероятность, что 2 из них будут чёрными, а 1 – белым?
Ответ:
В этой задаче можно использовать формулу гипергеометрического распределения. (О таком законе распределения см., к примеру, [2, с. 441; 5]).
Всего исходов
здесь
– число сочетаний из 7 (общее
количество шаров в урне) по 3 (количество
выбираемых наугад шаров). Благоприятствуют
же интересующему событию
исходов – вытаскиваний шаров одного
типа (белых) и одновременно
исходов – вытаскиваний шаров другого
типа (чёрных). Тогда искомая вероятность
есть:
.
XXXV. Прибор состоит из двух дублирующих блоков и остаётся работоспособным, если исправен хотя бы один из них. Случайным образом прибор может находиться в одном из двух режимов: благоприятном – с вероятностью 0.9 и неблагоприятном – с вероятностью 0.1. В благоприятном режиме надёжность (т.е. вероятность безотказной работы) каждого из блоков есть 0.95, а в неблагоприятном – 0.80. Учитывая всё это найти безусловную (полную) надёжность прибора.
Ответ:
Пусть
– вероятность благоприятного режима;
и пусть
– надёжность отдельного блока прибора
в благоприятном режиме, а
– в неблагоприятном. Тогда безусловная
надёжность
всего прибора может быть вычислена по
формуле полной вероятности как:
,
где выражение в первых квадратных скобках – это надёжность всего прибора в благоприятном режиме, а во вторых – в неблагоприятном. Откуда в числах искомая вероятность есть:
.
XXXVI. Уравновешенная
монета бросается
раз. Рассчитать вероятность выпадения
"герба"
раз для
.
Результаты свести в таблицу. Как выглядит
графически этот ряд распределения,
называемый биномиальным?
Ответ:
В рассматриваемой
задаче бросание монеты – это схема
опытов Бернулли с вероятностью
«успеха»
.
Поэтому искомая вероятность рассчитывается
по формуле Бернулли, которая в этом
частном случае даёт биномиальный ряд
распределения в форме:
. (12.1)
При этом расчёты по формуле (12.1) дают такие результаты:
Табл. 12.1
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
0.0156 |
0.0937 |
0.2344 |
0.3125 |
0.2344 |
0.0937 |
0.0156 |
Графики и свойства биномиального ряда, типа (12.1), см., к примеру, в [2, с.440; 5].
XXXVII. Студент купил карточку Спортлото и наугад отметил 6 из 49-ти номеров. Какова вероятность, что он угадал 3 выигрышных номера?
Ответ:
В этой задаче можно использовать формулу гипергеометрического распределения. Аналогично ответу на XXXIV искомая вероятность здесь есть:
.
XXXVIII. Пусть вероятность поражения цели при бомбометании с самолёта есть 0.35. И пусть независимо бросаются 10 бомб. Какова вероятность, что цель поразят ровно 3 (наивероятное число) бомбы?
Ответ:
Задачу можно
трактовать как схему из
опытов Бернулли с вероятностью "успеха"
.
И требуется вычислить вероятность
наступления
"успехов", что по формуле Бернулли
даёт:
.
XXXIX. (Расчёт точности стрельбы при круговом рассеянии, приводящий к распределению Рэлея). Для системы нормальных св
найти вероятность
попадания значений СВ
в круг радиуса
:
.
/Совет: при вычислении интеграла удобно
перейти в полярную систему координат/.
Ответ:
Искомая вероятность может быть вычислена по плотности как следующий двойной интеграл Римана:
. (13.1)
Воспользуемся
советом и перейдём из декартовой
в полярную
систему координат:
(13.2) 
.
Учитывая, что модуль Якобиана преобразования (13.2) есть
,
по правилам замены переменных в двойном интеграле (см., например, [4, с.423-424]) для (13.1) получаем:
,
где использовано, что круг интегрирования в декартовой системе координат преобразовался в прямоугольник в полярной системе.
Последний интеграл
легко берётся через замену
,
что в итоге даёт результат:
. (13.3)
Выражение (13.3) – это ФР так называемого закона распределения Рэлея. Графики и свойства этого закона см., к примеру, в [2, с.432; 5].
По закону Рэлея
распределён модуль плоского вектора,
компоненты которого стохастически
независимы и нормальны с нулевым средним
и дисперсией
.
Об использовании этого закона см. также
в [1, с.199].