XXVIII. На отрезок (см. Рис. 10.1) наугад поставлены точки и (пусть левее ). Какова вероятность, что длина отрезка будет меньше длины отрезка ?

Ответ:

Это задача на геометрическое определение вероятности Бюффона. Причём здесь исходы схемы испытаний удобно отобразить точками в 2-мерном евклидовом пространстве, полагая за координату длину отрезка , а за координату длину отрезка . При этом область точек – исходов всей схемы испытаний устанавливается из условий:

,

а область точек – исходов анализируемого события в пределах очерчивается требованием . Области и имеют вид треугольников, показанных на рис. 10.2. Тогда искомая вероятность вычисляется как отношение площадей этих треугольников и есть:

.

XXIX. В урну, содержащую 2 шара, опущен 1 белый шар; после чего из урны наудачу вынут 1 шар. Какова вероятность, что это будет белый шар, если равновозможен любой первоначальный состав урны?

Ответ:

Возможны 3 гипотезы об исходном составе шаров в урне: – белых нет; – один белый, а другой нет; – оба белые. Вероятности этих гипотез: . Пусть событие – вынуть белый шар. При этом условные вероятности такого события при гипотезах, очевидно (по определению Бернулли – Лапласа), есть: , , .

В итоге, искомая безусловная вероятность события по формуле полной вероятности вычисляется как:

.

XXX. (Распределение младшей порядковой статистики). Какую фр и плотность распределения имеет новая св , если старые нсв все одинаково и независимо распределены с фр и плотностью ?

Ответ:

Подобно ответу на XXVII решение может быть найдено следующим образом. По смыслу преобразования ФР новой НСВ должна строиться как:

хотя-бы одна ,

что через противоположные события тождественно

все . (10.1)

Плотность распределения новой НСВ получается дифференцированием выражения (10.1), что даёт:

. (10.2)

Формулы (10.1–2) используются в математической статистике при анализе вида распределения упорядоченных по величине выборочных данных.

XXXI. В студенческой лотерее на 100 билетов приходится 5 денежных и 5 вещевых выигрышей. Студент приобрёл 2 билета. Какова вероятность, что он выиграл и вещь и деньги?

Ответ:

Прямое решение. Всего здесь возможно исходов – число сочетаний из 100 билетов лотереи по 2 любых. Благоприятствуют же интересующему событию исходов – выигрышей одного типа на первый билет и одновременно столько же исходов – выигрышей другого типа на второй билет. Поэтому искомая вероятность есть:

(частный вариант формулы так называемого гипергеометрического распределения – доп. см. ответ на XXXIV).

Другое решение. На первый билет получить выигрыш какого-то типа можно с вероятностью . А на второй билет после этого получить выигрыш другого типа можно с вероятностью . В итоге искомая вероятность есть:

.

XXXII. Из наблюдений установлено, что вероятности произойти сбою во время работы ЭВМ в процессоре, в оперативной памяти или в периферийных устройствах соотносятся между собой как 3:2:5. И пусть условные вероятности обнаружения сбоя в названных местах ЭВМ есть соответственно 0.8, 0.9 и 0.9. Найти безусловную вероятность того, что возникший где-то сбой будет обнаружен системой контроля.

Ответ:

Возможны 3 гипотезы о месте сбоя: – сбой в арифметическом устройстве; – сбой в оперативной памяти; – сбой в периферийных устройствах. Априорные вероятности этих гипотез могут быть вычислены как:

, , .

Пусть событие – сбой обнаружен. Тогда его безусловная вероятность вычисляется по формуле полной вероятности через априорные вероятности гипотез и условные вероятности события при гипотезах как:

.

XXXIII. Одновременно бросается две уравновешенных игральных кости и подсчитывается произведение выпавших очков. Показать, что это определяет дискретную случайную величину, обладающую измеримым отображением. Построить ряд распределения этой ДСВ.

Ответ:

В этой задаче бросание костей составляет дискретную схему испытаний с 36-ю равновозможными исходами , где и – это номера граней костей. Такая схема порождает дискретное вероятностное пространство, в котором любое подмножество элементарных исходов – суть случайное событие, наступающее с определённой вероятностью. Эта вероятность вычисляется как сумма вероятностей влекущих событие исходов. Сами же исходы все имеют одинаковую вероятность .

Анализируемому в задаче произведению выпавших очков на очерченном вероятностном пространстве отвечает отображение:

, (11.1)

имеющее /см. далее табл. 11.1/ всего 18 различных значений . Причём каждому такому значению соответствует своё подмножество исходов в схеме испытаний – как прообраз отображения (11.1). К примеру, значению соответствует подмножество-прообраз , а значению отвечает прообраз и т.д.

И поскольку все подмножества исходов в схеме испытаний обладают определёнными вероятностями, отображение (11.1) является измеримым по вероятности, т.е. определяет собой случайную величину (дискретную). Иначе говоря, для каждого значения отображения по соответствующему прообразу может быть вычислена его вероятность . Это составляет ряд распределения исследуемой ДСВ.

Подсчёты показывают, что этот ряд таков:

Табл. 11.1

	1	2	3	4	5	6	8	9	10	12	15	16	18	20

24	25	30	36