XXII. На отрезок длины наугад ставится две точки. Какова вероятность, что из трёх получившихся частей отрезка можно построить треугольник?

Ответ:

Это задача на геометрическое определение вероятности Бюффона. Причём здесь исходы схемы испытаний удобно отобразить точками в 2-мерном евклидовом пространстве, полагая за координату длину одной стороны треугольника, а за координату длину другой (длина третьей определяется автоматически как дополнение до длины отрезка – см. рис. 8.1). При этом область точек – исходов всей схемы испытаний устанавливается из условий:

,

а область точек – исходов анализируемого события очерчивается требованиями (сумма любых двух сторон треугольника должна быть не меньше третьей стороны):

.

Области и имеют вид треугольников, показанных на рис. 8.2. Тогда искомая вероятность вычисляется как отношение площадей этих треугольников и есть:

.

XXIII. В лотерее разыгрывается 100 билетов, среди которых 10 – выигрышные. Студент купил 2 билета. Какова вероятность, что он выиграл хотя бы на один билет?

Ответ:

Фраза "хотя бы на один" показывает, что искомую вероятность удобно вычислять, используя противоположные события. Так в начале не выиграть на один билет студент может с вероятностью , а затем он может не выиграть на другой билет с вероятностью . Тогда искомая вероятность есть:

.

XXIV. Пусть дсв имеет ряд распределения , представленный в таблице.

Каков ряд распределения у новой ДСВ ?

Ответ:

Значения новой ДСВ получаются из значений старой путём сжимающего преобразования . При этом часть значений старой ДСВ «слипается».

Учитывая, что разным значениям ДСВ в порождающей схеме испытаний соответствуют несовместные события, при слипании вероятности старых значений складываются. В результате ряд распределения новой ДСВ получает вид:

	0	1	2	3
	0.2	0.4	0.3	0.1

XXV. Коэффициенты и квадратного уравнения выбираются наугад из сегмента . Какова вероятность, что корни этого уравнения будут действительными?

Ответ:

Э то задача на геометрическое определение вероятности Бюффона. Причём здесь исходы схемы испытаний удобно отобразить точками в 2-мерном евклидовом пространстве. При этом областью точек – исходов всей схемы испытаний является единичный квадрат (см. рис.); а область точек – исходов анализируемого события в пределах квадрата очерчивается требованием (детерминант квадратного уравнения должен быть не отрицательным). Области и имеют вид, показанный на рис. Тогда искомая вероятность вычисляется как отношение площадей этих областей и есть:

.

XXVI. Для оповещения об аварии установлено два сигнализатора, работающих независимо. Первый срабатывает на аварию с вероятностью 0.9, а второй – с вероятностью 0.8. Найти вероятность того, что при аварии сработает хотя бы один сигнализатор.

Ответ:

В обозначениях ответа на XIV анализируемое событие может быть представлено как:

,

откуда искомая вероятность проще всего вычисляется в виде:

.

XXVII. (Распределение старшей порядковой статистики). Какую ФР и плотность распределения имеет новая СВ , если старые НСВ все одинаково и независимо распределены с ФР и плотностью ?

Ответ:

По смыслу преобразования ФР новой НСВ должна строиться как:

все . (9.1)

Что в силу независимости старых НСВ даёт:

, (9.2)

где вероятности в произведении – суть ФР старых НСВ в точке . Но по условию ФР одинакова для всех этих НСВ. Тогда окончательно получаем:

. (9.3)

Плотность распределения новой НСВ получается дифференцированием выражения (9.3), что даёт:

(9.4)

Формулы (9.3–4) используются в математической статистике при анализе вида распределения упорядоченных по величине выборочных данных.