XVI. Четырёхтомное сочинение расположено на полке в произвольном порядке. Какова вероятность, что номера томов идут подряд?

Ответ:

Поскольку порядок расположения книг произволен, то общее число исходов есть . Однако подряд номера томов могут идти как слева направо, так и наоборот, т.е. благоприятствующих исходов здесь . Тогда искомая вероятность по определению Бернулли – Лапласа получается как:

.

XVII. Пусть в каждом цикле обзора радиолокатора цель может быть обнаружена с вероятностью 0.5. И пусть обнаружение в каждом цикле происходит независимо от других циклов. Определить с какой вероятностью цель будет обнаружена за 3 цикла.

Ответ:

Используя противоположные события и учитывая их независимость искомая вероятность есть:

.

XVIII. Уравновешенная игральная кость бросается до первого появления "6-ки". Рассчитать вероятность появления этого события при -том бросании для . Результаты свести в таблицу. Как выглядит графически этот ряд распределения, называемый геометрическим?

Ответ:

Пусть появление "6-ки" при бросании правильной игральной кости – это «успех», а появление другой грани – «неудача». При каждом бросании «успех» может наблюдаться с вероятностью , а «неудача» – с вероятностью .

Для того чтобы первая "6-ка" появилась лишь при -ом бросании необходимо, чтобы в предыдущих опытах наблюдалась только «неудача». Тогда, учитывая независимость опытов, вероятность появления первой "6-ки" при -ом бросании может быть рассчитана как:

(6.1)

Расчёты по формуле (6.1) дают такие результаты:

	1	2	3	4	5	6
	0.1667	0.1389	0.1157	0.0965	0.0804	0.0670

Члены ряда (6.1) при возрастании образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем . Отсюда и название этого дискретного закона распределения. Его графики и свойства см., к примеру, в [2, с.439; 5].

XIX. Какова вероятность, что выбранное наугад целое число при возведении в квадрат даст число, оканчивающееся на 1 ?

Ответ:

Понятно, что достаточно рассмотреть квадраты только чисел от 0 до 9, т.е. всего исходов здесь . При этом благоприятствующих исходов лишь (числа 1 и 9).Тогда искомая вероятность по определению Бернулли – Лапласа есть .

XX. Для оповещения об аварии установлено два сигнализатора, работающих независимо. Первый срабатывает на аварию с вероятностью 0.9, а второй – с вероятностью 0.8. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

Ответ:

В обозначениях ответа на XIV анализируемое событие есть:

,

откуда искомая вероятность вычисляется как:

.

XXI. Пусть некоторая система дсв со значениями имеет совместный ряд распределения , представленный в таблице:

Табл. 7.1. Совместный ряд компонент

Построить безусловные и условные ряды распределений компонент и . Зависимы ли между собой эти компоненты?

Ответ:

При обращении с рядами распределений дискретных случайных величин (векторных или скалярных) следует держать в уме, что каждому значению ДСВ в порождающей схеме испытаний соответствует некоторое случайное событие. Причём разным значениям ДСВ отвечают несовместные события, в целом составляющие полную группу. Т.е. значения ДСВ – суть представители своих уникальных событий, наступающих в схеме с определёнными вероятностями.

Учитывая сказанное для построения требуемых в задаче рядов можно использовать известные правила исчисления вероятностей сложных случайных событий.

Так, безусловные ряды компонент и могут быть получены с использованием аналога формулы полной вероятности путём суммирования значений в табл. 7.1 соответственно вдоль строк и столбцов. Схематично это можно записать как:

, (7.1)

. (7.2)

(При этом значения другой компоненты – по которым ведётся суммирование, выступают в роли гипотез в схеме).

В итоге суммирования по данным табл. 7.1 получаем такие ряды:

Табл. 7.2. Безусловный ряд компоненты

	0	1

Табл. 7.3. Безусловный ряд компоненты

	-1	1

Далее, условные ряды компонент и могут быть получены с использованием аналога формулы условной вероятности путём деления значений в табл. 7.1 соответственно вдоль столбцов и строк на безусловную вероятность фиксированной компоненты из табл. 7.3 или из табл. 7.2. Схематично это можно записать как:

, (7.3)

, (7.4)

где знаменатели берутся из (7.2) и (7.1).

В итоге деления по данным табл. 7.1 – 3 получаем такие ряды:

Табл. 7.4. Условные ряды компоненты

	0	1

Табл. 7.5. Условные ряды компоненты

		1

Из табл. 7.4 – 5 видно, что условные ряды меняются при смене фиксированного значения другой компоненты. Это говорит о том, что компоненты и в системе стохастически зависимы между собой. Такой же вывод можно сделать, сравнивая соответствующие безусловные ряды из табл. 7.2 – 3 с условными рядами. Сравнение показывает, что они не совпадают.