XIII. Уравновешенная монета бросается раз. Какова вероятность выпадения нечётного числа гербов?

Ответ:

Не зависимо от числа бросаний , если количество уже выпавших "гербов" чётное, то это вероятность выпадения "герба" . А если количество уже выпавших "гербов" нечётное, то это вероятность выпадения "решки" . Но поскольку монета уравновешена, то .

XIV. Для оповещения об аварии установлено два сигнализатора, работающих независимо. Первый срабатывает на аварию с вероятностью 0.9, а второй – с вероятностью 0.8. Найти вероятность того, что при аварии сработают оба сигнализатора.

Ответ:

Пусть срабатывание первого сигнализатора – это событие , его вероятность по условию есть . И пусть срабатывание второго сигнализатора – это событие , его вероятность по условию есть . Тогда событие , состоящее в срабатывании обоих сигнализаторов, есть:

,

и искомая вероятность (с учётом независимости событий и ) получается как:

.

XV. (Задача, приводящая к показательно – степенному распределению). Найти плотность распределения новой НСВ , когда слагаемые стохастически независимы и каждое распределено по экспоненциальному закону с плотностью .

/Совет: воспользоваться вспомогательным невырожденным преобразованием /.

Ответ:

Первый способ решения (опирающийся на правило трансформации плотности).

Совместная плотность распределения системы исходных СВ в задаче образуется как произведение плотностей компонент и имеет вид:

. (5.1)

Советуемое преобразование к системе новых СВ является взаимооднозначным, т.е. обладает обратным, что в терминах значений СВ выглядит как

(5.2) .

Причём модуль якобиана преобразования (5.2) равен 1.

Учитывая сказанное, совместная плотность распределения системы новых СВ по известным правилам трансформации плотности (см. [3, §II.4]) получается в форме

. (5.3)

Причём область на плоскости , в которой плотность (5.3) отлична от нуля, имеет треугольный вид, показанный на рис. 5.1 заливкой.

Теперь остаётся только построить требуемую безусловную плотность распределения компоненты , что из совместной плотности (5.3) образуется в виде следующего римановского интеграла:

/см. рис. 5.1/ . (5.4)

В итоге плотность распределения суммы двух независимых экспоненциальных СВ имеет формулу

. (5.5)

Выражение (5.5) – это частный вариант показательно – степенного закона распределения, широко используемого в теории массового обслуживания. Графики и свойства этого закона см., к примеру, в [2, с.421; 5].

Второй способ решения (опирающийся на правило трансформации функции распределения).

ФР новой НСВ через совместную ФР слагаемых исходно определяется в виде следующего интеграла Стилтьеса:

; (5.6)

что с вычислительной точки зрения здесь сводится к такому двойному римановскому интегралу:

, (5.7)

где – это совместная плотность распределения слагаемых вида (5.1).

В свою очередь, вычисление 2-го интеграла (5.7) через повторные интегралы (с учётом вида области интегрирования – где плотность (5.1) ненулевая /см. рис. 5.2/) приводит к выражению:

. (5.8)

Теперь искомая плотность распределения новой НСВ получается путём дифференцирования ФР (5.8). По известным правилам дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, (см., к примеру, [4, с.405]) это и даёт в итоге формулу (5.5).