VII. Пять студентов наугад рассаживают за круглый стол. Какова вероятность, что определённая пара окажется рядом?
Ответ:
Число студентов
.
Пусть первый в паре уже сел на какое--то
место. Тогда всего мест для второго
осталось
.
Причём в паре он может сидеть только на
из этих мест – слева или справа.
В итоге искомая вероятность есть:
.
VIII. Бросается правильная
игральная кость. И пусть событие
заключается в выпадении числа очков
меньше 6, а событие
состоит в выпадении числа очков больше
2. Тогда что представляет из себя условное
событие
и какова его вероятность?
Ответ:
Событие
,
причём у события
4 элементарных исхода; поэтому искомая
вероятность есть:
.
IX . Пусть у системы нсв совместная фр имеет вид, показанный значениями на рисунке.
Каковы безусловные и условные ФР компонент в этой системе? Зависимы ли между собой компоненты? Как выглядит совместная плотность распределения системы?
Ответ:
Вспоминая теорию
(см. [3, §II.3]) безусловные
ФР компонент можно установить как
маргинальные от совместной ФР, т.е.
,
а
.
Глядя на график совместной ФР видно,
что для этого достаточно рассмотреть
произвольные сечения
и
.
В результате получаем:
, (3.1)
. (3.2)
Из (3.1-2) ясно, что это равномерные законы распределения (свойства закона см. в [2, с.411; 5]) с плотностями:
(3.3) 
,
. (3.4)
Причём
спектральные значения каждой из
компонент
и
лежат в сегменте [0,1].
Теперь можно вычислить и условные ФР компонент по известным формулам (см. [3, ф.(II.3.6)]):
, (3.5)
. (3.6)
Производя дифференцирование из рисунка совместной ФР, а также из формул (3.3-4) видно, что выражения для условных ФР совпадают с безусловными (3.1-2).
Это означает, что
компоненты в системе
стохастически независимы между
собой. При этом совместная плотность
распределения есть
, (3.7)
и она разлагается на произведение безусловных плотностей компонент (3.3-4).
X. Бросается две уравновешенные игральные кости. Какова вероятность, что на них выпадут различные числа?
Ответ:
Первый способ
решения. Прямой подсчёт исходов по
определению Бернулли – Лапласа даёт
результат
.
Второй способ
решения. На первой кости может
выпасть различных чисел
.
При этом на второй кости должно
выпасть других различных чисел
.
Тогда искомая вероятность есть:
.
Третий способ
решения. Вероятность выпадения
одинаковых чисел при бросании двух
костей есть
.
Тогда искомая вероятность для
противоположного события получается
как:
.
XI. По данным переписи (1891 г.) Англии и Уэльса было установлено, что тёмноглазые отцы и тёмноглазые сыновья составили 5% обследованных, тёмноглазые отцы и светлоглазые сыновья составили 8% обследованных, светлоглазые отцы и тёмноглазые сыновья составили 9% обследованных, а светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья составили 78% обследованных. Определить, какова вероятность рождения тёмноглазого сына у светлоглазого отца?
Ответ: трактуя проблему аналогично ответу на V искомая вероятность есть:
.
XII.
Каким должно быть преобразование
,
чтобы по значениям
равномерной в [0,1] НСВ
можно было смоделировать значения
новой НСВ
с плотностью экспоненциального
закона распределения:
? (Зачастую так бывает распределено
время ожидания
определённого события).
Ответ:
Для получения
новой НСВ здесь нужно применить обратное
преобразование Мизеса
,
где задействована ФР новой СВ:
. (4.1)
Следовательно, искомое преобразование выглядит как:
. (4.2)
Экспоненциальный
односторонний закон распределения
широко применяется в теории массового
обслуживания. Графики и свойства этого
закона см., к примеру, в [2, с.417; 5]. Этот
закон связан с другими знаменитыми
распределениями теории вероятностей
и математической статистики. Например,
частным вариантом
-распределения
К.Пирсона при
степенях свободы (см. LXXII) как раз является
односторонний экспоненциальный закон.