Lxxix. Из букв разрезной азбуки составлено слово книга. Ребёнок рассыпал эти буквы, а затем наугад их составил. Какова вероятность, что вновь получится исходное слово?

Ответ:

Учитывая, что правильная расстановка букв единственна (в отличие от ответа на LXXVI), а ребёнок мог их составить в любом из 5! порядков, искомая вероятность по определению Бернулли – Лапласа есть:

.

LXXX. Вероятность сбить самолёт одиночным винтовочным выстрелом весьма мала и составляет порядка 0.004. Какова (приближённо по Пуассону) вероятность сбить самолёт при одновременной независимой стрельбе из 250-ти винтовок?

Ответ:

Обозначим искомую вероятность через , а через – вероятность получить "успехов" за опытов Бернулли; причём у нас вероятность отдельного "успеха" . Тогда в терминах противоположного события в задаче требуется вычислить:

.

Однако проблема в том, что из-за больших факториалов вычислять бернуллиеву вероятность непросто. Но здесь можно воспользоваться пуассоновским приближением для формулы Бернулли:

.

Учитывая, что у нас , расчёт по формуле Пуассона для искомой вероятности даёт:

.

LXXXI. Пусть старая НСВ имеет квадратичную ФР при , оставаясь равной 0 при и оставаясь равной 1 при . И пусть новая СВ получается из старой в результате операции усечения: , причём при и при . Как в итоге выглядит ФР новой СВ и каков тип СВ ?

Ответ:

Г рафики ФР старой СВ и закона преобразования старой СВ в новую показаны соответственно на рис. 27.1 и рис. 27.2:

По смыслу ФР новой СВ определяется как:

/см. рис. 27.1-2/=

.

В результате искомая ФР описывается формулой

и имеет график, показанный на рис. 27.3.

И з графика видно, что СВ имеет смешанный дискретно - непрерывный тип – поскольку её ФР совершает два скачка в точках 0 и 1/2, а в остальных точках непрерывна. При этом точки скачков составляют дискретную часть спектра с вероятностными массами 1/16 и 7/16. Непрерывная же часть спектра сосредоточена в отрезке (0,1/2), где распределена вероятностная масса 8/16.

Следует отметить, что операция усечения старой НСВ всегда ведёт к образованию дискретной части спектра у новой СВ в точках концов усечения. При этом вероятности этих точек образуются как вероятностные массы хвостов распределения исходной НСВ.

Литература

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей, изд. 4-е, стереотип. – М.: Наука, 1969.

2. Заездный А.М. Основы расчётов по статистической радиотехнике. – М.: Связь, 1969.

3. Радюк Л.Е., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. – Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1988.

4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов, изд. 11-е стереотип. – М.: Наука, 1967.

5. Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. – СПб.: Наука, 2001.

____________________________________________________________________Томский государственный университет, пр. Ленина, 36, факультет информатики

Тираж 100 экз.

59