Lxxiii. В барабане револьвера 7 гнёзд и вставлено 5 патронов. Дважды барабан наугад прокручивается, и каждый раз нажимается курок. Какова вероятность, что выстрела не будет?

Ответ:

Первый раз выстрела не будет с вероятностью . И второй раз, учитывая (что выстрела ещё не было) вероятность такая же. Тогда общая вероятность есть:

.

Lxxiv. Уравновешенная монета бросается 6 раз. Какова вероятность, что выпадет больше гербов, чем решек?

Ответ:

Вероятность выпадения "гербов" за бросаний может быть рассчитана по формуле Бернулли при вероятности "успеха" . По условию требуется рассмотреть 3 несовместных значения , т.е. искомая вероятность устанавливается как:

LXXV. Пусть имеется протяжённая цель, в которую стреляют снарядом. При этом пусть снаряд полностью попадает в цель с вероятностью 0.25 и тогда площадь поражения максимальная . Далее, пусть снаряд вообще не попадает в цель с вероятностью 0.05 и тогда площадь поражения нулевая. Во всех прочих ситуациях площадь поражения может быть любой из интервала , причём каждое значение равновозможно.

Как выглядит функция распределения площади поражения как случайной величины ? Нарисовать график ФР , назвать тип СВ.

Ответ:

Решение этой задачи перекликается с ответом на XLVIII. Здесь имеется два значения (0 и ) СВ , которые наступают с ненулевыми вероятностями (0.05 и 0.25). Такие значения явно принадлежат дискретной части спектра СВ, и в них ФР должна совершать скачки высотой 0.05 и 0.25.

Помимо этого, есть интервал значений СВ, вдоль которого оставшаяся вероятностная масса 1-0.05-0.25=0.7 распределена непрерывно и равномерно. Такой интервал значения явно принадлежит непрерывной части спектра СВ, и на нём ФР должна нарастать линейно с высоты 0.05 до высоты 0.75.

Вне сегмента значений у рассматриваемой СВ нет, а значит там ФР постоянна. До абсциссы ФР равна 0 (ещё не дошли до точек с вероятностной массой СВ), а после абсциссы ФР равна 1 (уже прошли все точки с вероятностной массой СВ).

Таким образом, анализируемая СВ имеет дискретно-непрерывный тип, и график её ФР показан на рисунке.

Lxxvi. Из букв разрезной азбуки составлено слово ананас. Ребёнок рассыпал эти буквы, а затем наугад их составил. Какова вероятность, что вновь получится исходное слово?

Ответ:

Учитывая, что для ребёнка все карточки неразличимы, он мог составить их в любом из 6! порядков. Но в рассматриваемом слове 3 одинаковых буквы А и 2 одинаковых буквы Н, чьи расстановки не влияют на значение слова. Поэтому искомая вероятность по определению Бернулли – Лапласа может быть вычислена как:

.

Lxxvii. На курсе 40 студентов – юношей. Какова (приближённо по Муавру – Лапласу) вероятность того, что хотя бы двое из них носят имя Александр, если частота встречи такого имени у юношей есть ?

Ответ:

Обозначим искомую вероятность через , а через – вероятность получить "успехов" за опытов Бернулли; причём у нас вероятность "успеха" , а "неудачи" . Тогда в терминах противоположных событий требуется вычислить:

.

Однако проблема в том, что из-за больших факториалов вычислять бернуллиевы вероятности непросто. Но здесь можно воспользоваться нормальным приближением Муавра – Лапласа для формулы Бернулли:

.

Расчёты по этой формуле дают такие значения ; откуда искомая вероятность имеет значение .

LXXVIII. Проводится игра в орлянку с 3-хкратным независимым подбрасыванием неуравновешенной монеты, у которой "герб" выпадает с вероятностью , а "решка" с вероятностью . За каждый "герб" игрок получает 1 рубль, а за каждую "решку" платит 1 рубль.

Показать, что сумма выигрыша представляет из себя дискретную случайную величину, обладающую измеримым отображением. Построить ряд распределения этой ДСВ.

Ответ:

Решение данной задачи вполне аналогично ответу на XXXIII. Бросание монеты здесь составляет дискретную схему испытаний с исходами, представленными в табл. 26.1. Однако эти исходы неравновозможны – поскольку монета неуравновешенна. Вероятности исходов приведены в табл. 26.1. В силу независимости бросаний они вычисляются как , где – число «гербов», а – число «решек», выпавших за три бросания.

Табл. 26.1

	0.064	0.096	0.096	0.096	0.144	0.144	0.144	0.216
	-3	-1	-1	-1	1	1	1	3

Такая схема испытаний порождает дискретное вероятностное пространство, в котором любое подмножество элементарных исходов – суть случайное событие, наступающее с определённой вероятностью. Эта вероятность вычисляется как сумма вероятностей влекущих событие исходов.

Анализируемой в задаче сумме выигрыша на очерченном вероятностном пространстве отвечает отображение , представленное в табл. 26.1 и имеющее всего 4 различных значения . Причём каждому такому значению соответствует своё подмножество исходов в схеме испытаний – как прообраз отображения.

Так значению соответствует прообраз , значению отвечает подмножество – прообраз , значению отвечает подмножество , а значению соответствует прообраз .

И поскольку все подмножества исходов в рассматриваемой схеме испытаний обладают определёнными вероятностями, отображение табл. 26.1 является измеримым по вероятности, т.е. определяет собой случайную величину (дискретную). Иначе говоря, для каждого значения отображения по соответствующему прообразу может быть вычислена его вероятность . Это составляет ряд распределения исследуемой ДСВ.

Подсчёты показывают, что этот ряд таков:

Табл. 26.2

	-3	-1	1	3
	0.064	0.288	0.432	0.216