Lii. Какова вероятность того, что 3 определённые книги на полке будут стоять рядом, если наугад расставляется 10 книг?

Ответ:

Общее число исходов здесь 10! – количество перестановок всех книг. Благоприятствуют же интересующему событию 3! перестановок рассматриваемых книг, 8 различных положений на полке блока из этих книг, а также 7! перестановок из других книг. Тогда искомая вероятность по определению Бернулли – Лапласа есть:

.

LIII. Пусть некоторая система (цепь Маркова) случайным образом может переходить в одно из трёх состояний , и с вероятностями, указанными на графе переходов (см. рис. 18.1). Считая, что изначально система находится в состоянии , определить вероятность того, что за 2 перехода она так и останется в этом же состоянии.

Ответ:

Здесь имеется две несовместные возможности: с вероятностью перейти в состояние , а затем с вероятностью вернуться в состояние ; либо с вероятностью перейти в состояние , а затем с вероятностью вернуться в состояние . Тогда полная вероятность остаться за два хода в состоянии есть:

.

Liv. (Закон арксинуса). Какими являются фр и плотность у новой св (где ), если старая нсв распределена равномерно в ? Нарисовать графики.

Ответ:

Решение этой задачи подобно ответу на III. Прямое преобразование здесь есть , где – это значения равномерной НСВ с распределением

;

а обратное к исходному преобразование имеет вид . Причём последняя функция обладает положительной производной . Тогда по правилу трансформации плотности НСВ при её монотонно возрастающем преобразовании здесь имеем:

.

Откуда в результате очевидных упрощений для плотности этого распределения окончательно получаем:

. (18.1)

ФР распределения выражается через интеграл от плотности:

,

ч то из (18.1) даёт:

. (18.2)

По виду формулы (18.2) это распределение и названо законом арксинуса. Его свойства см., к примеру, в [2, с.414; 5]. Интересную форму имеют графики этого распределения. График плотности показан на рис. 18.2, а график ФР – на рис. 18.3.

Lv. В ящике находится 10 карточек с различными номерами. Из ящика по очереди наугад вынимается с возвращением 3 карточки. Какова вероятность, что у них будут разные номера?

Ответ:

Учитывая, что это схема с возвращением, а номера карточек должны быть разными, искомая вероятность может быть вычислена как:

.

LVI. Солдат получает зачёт по стрельбе при условии, что в течение отведённого времени он поразит не менее трёх мишеней из пяти. Каждую мишень не зависимо от других солдат может поразить с вероятностью . Какова вероятность, что он сдаст зачёт?

Ответ:

Искомая вероятность может быть вычислена как:

,

где при – это вероятность получить "успехов" за опытов Бернулли, когда вероятность "успеха" есть .

Lvii. (Распределение Коши). Какими являются фр и плотность у новой св (где , а – произвольная ), если старая нсв распределена равномерно в ? Нарисовать графики.

Ответ:

Решение этой задачи аналогично ответу на LIV. Прямое преобразование здесь есть , где – это значения равномерной НСВ с распределением

;

а обратное к исходному преобразование имеет вид . Причём последняя функция обладает положительной производной:

Тогда по правилу трансформации плотности НСВ при её монотонно возрастающем преобразовании здесь имеем:

,

что даёт просто

(19.1)

(учитывая, что всегда находится в пределах от до ).

ФР этого распределения выражается через интеграл от плотности:

,

что из (19.1) приводит к выражению:

. (19.2)

Формулы (19.1-2) описывают знаменитый закон распределения Коши. Он примечателен тем, что из-за затянутости «хвостов» не обладает моментами. Его свойства и графики см., к примеру, в [2, с.415]. Однако там следует обратить внимание на ошибку: значения ФР в книге указаны в раз большими, чем нужно; а в остальном всё правильно.

Закон Коши связан со многими другими известными распределениями. Например, он является частным вариантом так называемого -распределения Стьюдента при степени свободы (см. [2, с.416; 5]).

LVIII. Бросаются две правильных игральных кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков окажется больше их произведения?

Ответ:

Прямой подсчёт исходов по определению Бернулли – Лапласа даёт: .

LIX. Группа в 30 студентов поровну состоит из отличников, хорошистов и троечников. Отличник на экзамене обязательно получит 5; хорошист – равновозможно 5 или 4; а троечник – равновозможно 4, 3 или 2. Новый преподаватель наугад вызывает незнакомого студента. Какова вероятность, что студент получит 4 или 5 ?

Ответ:

Эту задачу можно трактовать как схему гипотез: – отличник, – хорошист, – троечник; причём гипотезы равновозможны и каждая имеет априорную вероятность . Пусть событие – получить 4 или 5; его условные вероятности при гипотезах есть:

.

В задаче требуется установить безусловную вероятность события , что по формуле полной вероятности в числах даёт:

.

LX. Для экспоненциальной НСВ с плотностью распределения найти вероятность выполнения события: . /Содержательно это можно трактовать как вероятность, с которой случайное время ожидания в очереди не превысит среднего значения/.

Ответ:

Поскольку в этой задаче СВ непрерывна, искомая вероятность вычисляется через римановский интеграл от плотности распределения по области значений . Но анализируемая плотность отлична от нуля только при положительном аргументе. Поэтому нужная вероятность определяется как:

/вводя замену

.

LXI. Бросаются две правильных игральных кости. Какова вероятность, что произведение выпавших очков равно 8 ?

Ответ:

Прямой подсчёт исходов по определению Бернулли – Лапласа даёт: .

LXII. Рабочий производит с вероятностью 0.9 годное изделие и с вероятностью 0.09 – изделие с устранимым браком. Произведено 5 деталей. Какова вероятность, что среди них будет 4 годных и одна с устранимым браком, но не будет деталей с неустранимым браком?

Ответ:

Это задача на полиномиальную схему испытаний с тремя событиями (причём третье /произведено изделие с неустранимым браком/ не наступило). Тогда искомая вероятность может быть вычислена как:

.

LXIII. (Суммирование нормальных ошибок измерений). Найти плотность распределения новой НСВ , когда слагаемые стохастически независимы и каждое распределено по нормальному закону с плотностью . /Воспользоваться невырожденным преобразованием . Учесть, что: /.

Ответ:

Аналогично ответу на XV поставленная задача может быть решена, опираясь на правило трансформации совместной плотности при невырожденном преобразовании векторной НСВ.

Совместная плотность распределения системы исходных СВ в задаче образуется как произведение плотностей компонент и имеет вид:

(21.1)

Советуемое преобразование к системе новых СВ является взаимооднозначным, т.е. обладает обратным, что в терминах значений СВ выглядит как

(21.2) .

Причём модуль якобиана преобразования (21.2) равен 1.

Учитывая сказанное, совместная плотность распределения системы новых СВ по правилам трансформации плотности (см. [3, §II.4]) получается в форме

, (21.3)

причём плотность (21.3) отлична от нуля (т.е. положительна) на всей плоскости .

Теперь остаётся только построить требуемую безусловную плотность распределения компоненты , что из совместной плотности (21.3) образуется в виде следующего римановского интеграла:

=/см. [1, §12.6]/= , (21.4)

где введены обозначения:

. (21.5)

Подставляя (21.5) в (21.4) и приводя подобные в результате можно получить, что

,

т.е.

, (21.6)

где значок «~» читается «распределено как».

Таким образом, оказалось, что сумма нормальных случайных величин даёт опять нормальную СВ с суммарной дисперсией (последнее, к стати, не зависит от вида распределения, а просто есть следствие стохастической независимости слагаемых СВ).

LXIV. Бросаются две правильных игральных кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков равна 8 ?

Ответ:

Прямой подсчёт исходов по определению Бернулли – Лапласа даёт: .

LXV. Группа в 30 студентов поровну состоит из отличников, хорошистов и троечников. Отличник на экзамене обязательно получит 5; хорошист – равновозможно 5 или 4; а троечник – равновозможно 4, 3 или 2. Новый преподаватель наугад вызывает незнакомого студента, и он получает 4. Какова вероятность, что этот студент из подгруппы троечников?

Ответ:

Подобно ответу на LIX это задача на схему гипотез: – хорошист, – троечник; причём априорные вероятности этих гипотез есть . И пусть событие – получить 4. Условные вероятности такого события при гипотезах по условию есть:

.

В задаче требуется установить апостериорную вероятность второй гипотезы, что по формуле Байеса (подобно ответу на L) в числах даёт:

.

LXVI. Каким должно быть преобразование , чтобы по значениям равномерной в [0,1] НСВ можно было смоделировать значения новой НСВ с плотностью , имеющей график:

Ответ:

Решение этой задачи аналогично ответу на XII. Для получения новой НСВ здесь нужно применить обратное преобразование Мизеса , где задействована ФР новой СВ:

/см. рис./=

.

Следовательно, искомое преобразование выглядит как:

.

LXVII. На склад поступила партия из 10-ти изделий, 3 из которых дефектные. Для контроля наугад выбрано 5 изделий. Какова вероятность, что среди них 2 дефектных?

Ответ:

В этой задаче подобно ответу на XXXIV можно использовать формулу гипергеометрического распределения. Откуда искомая вероятность есть:

.

LXVIII. Вероятность попадания стрелком в десятку равна 0.7, а в девятку – 0.2. Какова вероятность, что за 3 выстрела стрелок наберёт как минимум 29 очков?

Ответ:

Для набора 29-ти очков стрелку надо либо 3 раза попасть в десятку (одно событие), либо 2 раза в десятку и 1 в девятку (другое событие), но не допустить иных результатов (третье событие). В итоге это получается частный вариант задачи на полиномиальную схему испытаний с тремя событиями (причём третье событие не наступило). Тогда искомая вероятность может быть вычислена как:

.

LXIX. Пусть плотность распределения НСВ имеет вид, показанный на рисунке. Какова вероятность следующего события с такой НСВ: ?

Ответ:

Учитывая, что для НСВ вероятность значениям попасть на отрезок вычисляется как римановский интеграл от плотности распределения в пределах отрезка, искомая вероятность определяется как:

/см. рис./=

;

где использовано также, что у НСВ вероятность попасть в отдельную точку отрезка практически равна нулю.

LXX. Абонент забыл три последние цифры номера телефона и, помня лишь, что они разные, набрал их наугад. Какова вероятность, что он набрал правильный номер?

Ответ:

Искомая вероятность (учитывая, что цифры должны быть разные, а правильный номер единственен) есть:

.

LXXI. Имеется 3 партии деталей. В одной из них треть деталей – брак, а в остальных все детали качественные. Деталь, взятая наугад из какой-то партии, оказалась качественной. Какова вероятность, что деталь взята из партии с браком?

Ответ:

Здесь удобно рассмотреть схему гипотез: – партия с браком и – партии без брака. По условию эти гипотезы равновозможны и имеют априорные вероятности . Пусть событие – деталь качественная. Условные вероятности такого события при гипотезах есть:

.

В этих терминах в задаче требуется установить апостериорную вероятность первой гипотезы, что в числах по формуле Байеса даёт:

.

LXXII. (Закон распределения ). Если старая СВ распределена по стандартному нормальному закону, т.е. , то каков вид плотности у новой СВ ? Как эта плотность выглядит графически?

Ответ:

Р ешение этой проблемы перекликается с ответом на III, но имеется и существенное отличие. Прямое преобразование СВ здесь не является монотонным /см. рис. 24.1/, и обратное преобразование получается многозначным. Это не позволяет использовать в задаче простое правило трансформации плотности НСВ, а требует специальных приёмов (см., например, [1, §12.3]).

Общая идея состоит в том, чтобы через плотность старой НСВ вначале построить ФР новой СВ , а затем получить её плотность дифференцированием (подобно второму способу решения в ответе на XV).

По смыслу преобразования ФР новой СВ определяется как

. (24.1)

Но, как видно из рис. 24.1, через плотность распределения старой НСВ для верхней вероятности в (24.1) имеем:

. (24.2)

Тогда плотность новой НСВ получается как

=/из (24.1-2)/= , (24.3)

где производная берётся от выражения (24.2) по известным правилам дифференцирования интеграла (см., к примеру, [4, с.405]) и имеет формулу:

. (24.4)

В итоге из (24.3-4) оказывается, что при возведении в квадрат стандартной нормальной СВ получается новая НСВ с плотностью:

. (24.5)

Ф ормула (24.5) описывает частный вариант знаменитого закона распределения К.Пирсона при степени свободы. График плотности (24.5) показан на рис. 24.2.

По закону с степенями свободы распределена сумма некоррелированных стандартных нормальных СВ. Этот закон широко используется в математической статистике и связан со многими другими известными распределениями. В частности, при (т.е. когда складываются квадраты двух нормальных СВ) он совпадает с односторонним экспоненциальным законом распределения /см. ответ на XII при /.

Общие свойства закона распределения при произвольном числе степеней свободы см., к примеру, в [2, с.423] (при этом там нужно положить ).