Учебно-методическое пособие
Составитель: Ю.В. Потапов
Пособие рассмотрено и одобрено методической
комиссией факультета информатики.
Декан факультета информатики,
доцент Б.А. Гладких
Председатель методической
комиссии, профессор В.В. Поддубный
Методическое пособие предназначено в помощь освоению простейших понятий теории вероятностей и ориентировано на студентов факультета информатики. Пособие составлено в форме ответов на варианты контрольных задач, предлагавшихся к решению в течение семестра. Ответы даны в развёрнутом виде с подробными теоретическими и методическими комментариями, что должно помочь при подготовке к экзамену.
Данный документ «выкладывается» в сеть факультета в сессию, начиная с зачётной недели. Студенты, не успевшие к этому моменту решить какие-либо задачи своего варианта, теперь будут решать аналогичные уже на экзамене.
Реализовано пособие в печатном и электронном виде. При работе с электронным вариантом для быстрого листания по разделам документа можно использовать механизм гиперссылок, заложенный в оглавлении. Места ссылок выделены там жёлтой заливкой. Вернуться на начало документа всегда можно с помощью клавиш клавиатуры Ctrl + Home.
©.Потапов Ю.В: 2004
Оглавление
Литература 59
I. В урне 2 белых и 4 чёрных шара. Двое поочерёдно наугад вынимают по шару (без возвращения). С какой вероятностью первый вынет белый шар первым?
Ответ:
Первый способ
решения. Вычислим искомую вероятность,
используя противоположные события.
Вероятность проиграть в 1-м туре есть
.
Иначе вероятность выйти во 2-й тур есть
.
А вероятность при этом проиграть во 2-м
туре есть
.
Тогда вероятность всё-таки выиграть
получается как:
.
Второй способ
решения. Вероятность первому вынуть
белый шар в 1-ом туре (соб.
)
есть
.
Вероятность первому вынуть белый шар
при 2-м вытаскивании (соб.
)
есть
.
Вероятность первому вынуть белый шар
в 3-м (последнем) туре (соб.
)
есть
.
События
и
являются несовместными, поэтому искомая
вероятность может быть вычислена как:
.
II. Бросается правильная
игральная кость. И пусть событие
заключается в выпадении числа очков
меньше 6, а событие
состоит в выпадении числа очков больше
2. Тогда что представляет из себя условное
событие
и какова его вероятность?
Ответ:
Событие
,
причём у события
элементарных исходов 5; поэтому искомая
вероятность есть:
.
III. (Задача а.Н. Колмогорова, приводящая к логнормальному распределению). Найти плотность распределения новой нсв , когда старая св распределена нормально, т.Е. .
Ответ:
Прямое преобразование
здесь есть
,
а обратное ему
имеет вид
.
Причём последняя функция имеет
положительную производную
.
Тогда по правилу трансформации плотности
НСВ при её монотонно возрастающем
преобразовании [1, §12.1] имеем:
(1.1)
Это и есть плотность логнормального закона распределения; её график и свойства см., к примеру, в [2, с.431; 5].
Логнормальный закон широко используется в теории надёжности; им хорошо аппроксимируется распределение атмосферных помех при распространении радиосигнала. Колмогоров пришёл к этому закону в результате анализа размеров осколков при дроблении породы (то же – и при разрыве снаряда).
Действительно,
при элементарном воздействии
на кусок породы размер осколка
пропорционален, очевидно, размеру куска
.
Т.е. имеет место дифуравнение
,
решением которого является экспонента
.
Если воздействие
нормально, то это и ведёт к логнормальному
закону для
.
IV. Два игрока по очереди бросают уравновешенную игральную кость. Выигрывает тот, у кого очков больше. С какой вероятностью выиграет первый?
Ответ:
Прямой подсчёт по
определению Бернулли – Лапласа (с
учётом, что достаточно рассмотреть
всего один тур) даёт результат
.
V. По данным переписи (1891 г.) Англии и Уэльса было установлено, что тёмноглазые отцы и тёмноглазые сыновья составили 5% обследованных, тёмноглазые отцы и светлоглазые сыновья составили 8% обследованных, светлоглазые отцы и тёмноглазые сыновья составили 9% обследованных, а светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья составили 78% обследованных. Определить, какова вероятность рождения светлоглазого сына у тёмноглазого отца?
Ответ:
Обозначим как
событие
встречу в ходе переписи тёмноглазого
отца (при этом противоположное событие
– встреча светлоглазого отца). Далее
обозначим как событие
встречу в ходе переписи тёмноглазого
сына (при этом событие
– встреча светлоглазого сына). Тогда
результаты переписи – это, фактически,
следующие оценки вероятностей произведений
событий:
,
,
,
.
В итоге такой трактовки искомая вероятность есть:
.
VI. (Правило трёх
сигма Е.С. Вентцель). С точностью до
5-ти значащих цифр вычислить вероятность,
с которой значения нормальной СВ
оказываются в пределах от
до
.
/В расчётах можно воспользоваться
значением интеграла вероятностей
/.
Ответ:
Нормальная случайная
величина – это НСВ с плотностью
.
Тогда по свойствам плотности распределения
НСВ искомая вероятность
вычисляется через следующий римановский
интеграл:
. (2.1)
И
производя замену
это сводится к выражению:
. (2.2)
Величина (2.2) столь
близка к единице, что можно считать
практически достоверным событием
значениям нормальной СВ попасть на
интервал
.
В этом и заключается знаменитое правило
трёх сигма [1, §6.3].
Однако подчеркнём, что вероятность выпасть за интервал трёх сигма
(2.3)
хоть
и мала, но не нулевая. При этом за 1000
наблюдений нормальной СВ можно ожидать
в среднем 3 выпадения за интервал
трёх сигма, за 10000 – уже 27, а за 100000 – 270
и т.д. Это иллюстрирует тот факт, что
спектр значений нормальной СВ
всё-таки лежит в пределах
.