Особливості техніки розв’язання оберненої задачі кінематики

Однозначне розв’язання оберненої задачі кінематики можливе тільки для маніпулятора з 6 степенями свободи. Тоді матриця бажаних положення та орієнтації захоплювача набере такого вигляду:

Очевидно, що _i будуть змінними, значення яких необхідно знайти за умови, якщо відомі інші параметри маніпулятора _i, a_i, d_i. Зрозуміло, що для маніпулятора з призматичними зчленуваннями невідомими змінними будуть a_i та d_i, але принцип той самий.

Отже, якщо відомі параметри зчленувань, то матриці A_i-1ⁱ легко можуть бути сформовані, та після їх перемноження ми отримаємо матрицю положення та орієнтації захоплювача. У загальному випадку ми отримаємо 12 рівнянь з 6-ма невідомими, тобто система перевизначена.

Порядок виконання завдань та оформлення результатів

1. Рекомендується до заняття розібратися з наведеними теоретичними відомостями.

2. Відпрацюйте самостійно приклад 1.

Приклад 1. Нехай координати деякої точки будуть [3 4 5 1]^T. Повернемо точку навколо осі х на 90 за годинниковою стрілкою та перенесемо її потім вздовж осі z на 5 одиниць вгору. Необхідно знайти нові координати точки.

Розв’язок. Рекомендується набрати та запустити наведений нижче лістинг програми в Matlab з метою набуття навичок практичного розв’язання представленої типової задачі.

A=[3 4 5 1]’ ; % координати точки A

%необхідно сформувати матрицю перетворень для обертання точки %навколо осі х на 90 градусів за годинниковою стрілкою

alpha=90*pi/180; %але спочатку перетворимо градуси на радіани

R_alpha=[1 0 0 0; 0 cos(alpha) -sin(alpha) 0;

0 sin(alpha) cos(alpha) 0; 0 0 0 1];

A_new=R_alpha*A %нові координати точки. Результат – у командному вікні.

%тепер зобразимо старе та нове положення точки А на графіку

%старе положення точки А позначено червоним

X=[A(1)]; Y=[A(2)]; Z=[A(3)]; plot3(X,Y,Z,':or')

hold on %команда hold on зберігає два графіка в одному вікні

% нове положення точки А позначено блакитним

X=[A_new(1)]; Y=[A_new(2)]; Z=[A_new(3)]; plot3(X,Y,Z,':ob'); xlabel('X-axis'); ylabel('Y-axis'); zlabel('Z-axis'); axis square; grid on

%тепер перенесемо точку А на 5 одиниць вгору

Tz=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 5; 0 0 0 1]; %матриця перетворень

A_newest=Tz*A_new

%найновіше положення точки А позначено зеленим

X=[A_newest(1)]; Y=[A_newest(2)]; Z=[A_newest(3)];plot3(X,Y,Z,':og')

Результати запуску програми (координати точки А та їх графічне зображення) занесіть у звіт.

3. Відпрацюйте приклад 2.

Приклад 2. Знайдемо параметри перетворення Денавіта-Хартенберга для маніпулятора, що представлений на рис. 3, а також розв’яжемо для вказаного випадку пряму задачу кінематики для відомого вектора переміщень зчленувань =[0 0 45 60 30]^T. Таким чином, необхідно знайти матрицю перетворення для переходу з базової системи координат в систему координат захоплювача А₀⁵.

Розв’язок. Згідно описаному вище алгоритму розставимо системи координат кожної ланки (рис. 3.3, 3.4).

Рис. 3.3. Маніпулятор з п’ятьма степенями свободи

Рис. 3.4. Розміщення систем координат ланок

Параметри перетворення Денавіта-Хартенберга представлені в табл. 3.2.

Таблиця 3.2