Залежності параметрів під-регулятора та показників якості перехідного процесу

	Kp	Ki	Kd
Час відпрацювання	зменшує	зменшує	незначні зміни
Перерегулювання	збільшує	збільшує	зменшує
Час перехідного процесу	незначні зміни	збільшує	зменшує
Усталена помилка	зменшує	усуває	незначні зміни

Слід зазначити, що цей взаємозв’язок не зовсім точний, тому що вплив коефіцієнтів K_p, K_i, та K_d на систему в цілому залежить один від одного. Насправді, при зміні хоча б одного з них, змінюється і вплив інших.

Загальні аспекти проектування під-регуляторів

При проектуванні ПІД-регуляторів для заданої системи, необхідно дотримуватися наступного порядку.

Отримайте перехідну характеристику та визначте, які саме показники якості необхідно покращити.

Додайте пропорційну ланку для покращення часу відпрацювання.

Додайте диференціюючу ланку для покращення пере регулювання або навіть для забезпечення стійкості системи.

Додайте інтегруючу ланку для усунення усталеної помилки.

Налаштовуйте параметри K_p, K_i, та K_d доти, поки не отримаєте бажану перехідну характеристику із заданими показниками якості.

Нарешті, пам’ятайте, що зовсім немає необхідності реалізовувати всі три складові ПІД-регулятора. Іноді цілком достатньо однієї або двох складових регулятора. Чим простіше буде ПІД-регулятор, тим краще.

Порядок виконання завдання та оформлення результатів

1. Рекомендується попередньо розібратися з наведеними теоретичними відомостями.

2. Відпрацюйте приклад 1. Результати (графік залежності (t)) занесіть у звіт.

Приклад 1. Задана траєкторія руху має наступну залежність від часу: (t) = 5 + 3t² - 0.32t³ з кінцевим значенням часу t_f = 10 сек. Необхідно реалізувати керуючий сигнал в Simulink.

Розв’язок. Для реалізації сигналу рекомендується набрати та запустити наведений нижче лістинг програми в Matlab з метою набуття навичок практичного розв’язання представленої типової задачі.

t=0:0.1:10; %вектор часу від 0 до 10 сек з кроком 0.1

%обчислення вектору кутів 

theta=5+3*t.^2-0.32*t.^3;

plot(t,theta); %побудова графіку

%тепер сформуємо матрицю, яку будемо у подальшому %використовувати як вхідний або керуючий сигнал в Simulink

theta_desired=[t; theta];

При запуску цього лістингу в Matlab ви побачите графік (повинен бути занесений у звіт), а в ліворуч у командному вікні Matlab буде панель Workspace (робочий простір). Якщо вона не з’явилась, оберіть команду View та в ній опцію Workspace. Панель Workspace має з’явитися. На цій панелі буде список змінних, що зберігаються в пам’яті. Натисніть праву кнопку миші на змінній theta_desired та відкрийте її (рис. 4.2).

Ви побачите представлення матриці theta_desired у вигляді двохмірного масиву. Цю матрицю необхідно зберегти у вигляді файла theta_desired.mat, в якому зберігаються дані для подальшого використання в Simulink. Для зберігання файлу, натисніть на змінній в панелі Workspace та оберіть команду Save Selection as…. (Зберегти як...). Ім’я файлу має бути таким: theta_desired.mat.

Рис. 4.2. Панель Workspace командного вікна Matlab

Тепер можемо починати побудову моделі системи управління в Simulink. Створіть нову модель у Simulink та додайте блок From File (Зчитати з файлу) в бібліотеці Sources. Подвійне натискання на блоці відкриє вікно, де необхідно ввести ім’я файлу: theta_desired.mat. Тепер з’єднайте блок From File з блоком Scope в бібіліотеці Sinks (рис. 4.3). Запустіть модель та скопіюйте показання осцилографа поруч з графіком залежності (t). Вони мають бути однаковими.

Рис. 4.3. Створення вхідного керуючого сигналу

Тепер розглянемо динаміку двигуна, маніпулятора та контролера. Передатна функція двигуна постійного струму з якірним управлінням має наступний вигляд:

, (4.1)

де k_m – коефіцієнт передачі, а T_m – стала часу двигуна.

П

Рис. 4.4. Динаміка маніпулятора

ередатна функція контролера може бути знайдена з розв’язку оберненої задачі динаміки для певного маніпулятора (рис. 4.4).

В спрощеному вигляді розв’язок може бути представлений наступним чином:

,(4.2)

де b_ - коефіцієнт тертя.

Ми можемо спростити (4.2) ще більше, приймаючи до уваги що при малих значеннях кута , вираз набуде наступного вигляду:

або в операторній формі передатна функція контролера буде наступною:

, (4.3)

де k_c = ml_c².

Можна налаштувати сталу часу двигуна таким чином, щоб кінцева передатна функція об’єкта – контролер + двигун – була пропорційною ланкою, коефіцієнт передачі якої визначається коефіцієнтом тертя та коефіцієнтом передачі двигуна:

W_{контролер+двигун} (s) = b_  k_m. (4.4)

А тепер розглянемо динаміку маніпулятора та його передатну функцію. Момент, що прикладається до входу об’єкта, перетворюється на кут повороту відповідного зчленування. Таким чином, можна припустити, що в спрощеному вигляді передатна функція маніпулятора може бути представлена як:

, (4.5)

де J – момент інерції ланки.

Отже, передатна функція системи в цілому – контролер + двигун + маніпулятор – буде такою:

. (4.6)

3. Відпрацюйте приклад 2. Результати (перехідну характеристику системи без ПІД-регулятора) занесіть у звіт.

Приклад 2. Тепер дослідимо динамічні властивості системи управління маніпулятором для таких початкових даних: b_ = 1, k_m = 0.7, J = 0.007.

Розв’язок. Наступна блок-схема в Simulink моделює систему управління маніпулятором із заданими параметрами (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Система управління маніпулятором

Необхідно побудувати цю модель та занести у звіт її перехідну характеристику. Проте, як можна пересвідчитися, навіть з від’ємним зворотним зв’язком система нестійка.

Отже, необхідно додати спеціальний елемент, а саме ПІД-регулятор, по-перше, щоб забезпечити системі стійкість, а по-

друге, щоб покращити показники якості перехідного процесу.

Передатна функція ПІД-регулятора така:

, (4.7)

де K_p – коефіцієнт пропорційної ланки, K_d – коефіцієнт диференціюючої ланки, K_i – коефіцієнт інтегруючої ланки.

4. Відпрацюйте приклад 3. Результати (перехідні характеристики системи з ПІД-регулятором в Simulink та в Matlab) занесіть у звіт. Також мають бути занесені показники якості перехідного про- цесу: час відпрацювання, час перехідного процесу, пере регулювання, усталена помилка.

Приклад 3. Спроектуйте ПІД-регулятор для системи на рис. 4.5 для забезпечення стійкості системи та досягнення наступних показників якості: час відпрацювання < 0.1 сек, час перехідного процесу <0.5 сек, перерегулювання <1%, усталена помилка = 0.

Розв’язок. Додаймо блок PID controller (ПІД-регулятор) до попередньої блок-схеми на рис. 4.5. Цей блок можна знайти в бібліотеці Simulink Extras/Additional Linear (рис. 4.6).

Встановимо параметри ПІД-регулятора як це показано на рис. 4.6 та подивимося перехідну характеристику.

Рис. 4.6. Налаштування параметрів ПІД-регулятора

Чи задовольняє вона заданим вимогам до показників якості? Здається що ні, проте не кваптесь змінювати параметри ПІД-регулятора. Спробуємо інший шлях. Створимо М-файл з наступним лістингом.

%параметри ПІД-регулятора

kp=1;kd=1;

%передатна функція об’єкта управління задається функцією tf

%майже так само, як це робиться в Simulimk-блоке Transfer Fcn

control_object=tf([0.7],[0.007 0 0])

%передатна функція ПІД-регулятора

pid_controller=tf([kd kp],[1])

%передатна функція розімкненої системи

open_loop=pid_controller*control_object

%передатна функція замкненої системи визначається з допомогою %функції feedback

closed_loop=feedback(open_loop,1)

%будуємо графік перехідної характеристик системи з допомогою %функції step

step(closed_loop)

Після запуску м-файла ви побачите перехідну характеристику, яка декілька відрізняється від тієї, що є в Simulink. Визначте показники якості системи шляхом натискання правої кнопки миші на графіку та обиранням відповідних опцій Characteristics/Settling Time (час перехідного процесу), Characteristics/Rise Time (час відпрацювання), Characteristics/Steady State (усталена помилка), Characteristics/Peak Response (тут з’явиться такий параметр як перерегулювання). Занесіть обидві характеристики у звіт.

Тепер спробуйте пояснити, чим викликана така відмінність у графіках однієї і тієї самої моделі.

5. Порівняйте якість відтворення заданої траєкторії в Simulink-моделі з ПІД-регулятором (у звіт мають бути занесені фактична та задана, або ідеальна, траєкторії).

6. Розв’яжіть самостійно наступне типове завдання, аналогічне розглянутим.

Спроектуйте ПІД-регулятор для системи управління

маніпулятором для таких початкових даних: b_ = 1, k_m = 0.05, J = 0.008. Задані показники якості повинні бути такими: час відпрацювання < 0.1 сек, час перехідного процесу < 0.15 сек, перерегулювання < 1%, усталена помилка повинна дорівнювати нулю. У звіт занести параметри ПІД-регулятора та перехідну характеристику, на якій треба показати відповідні показники якості.