Траєкторія типу 4-3-4

Цей тип траєкторії має три ділянки – підйом, проміжна ділянка та спуск, що описуються поліномами відповідних порядків: 4, 3 та 4. Для подальшого розв’язання задачі введемо безрозмірну змінну часу :

та _m = t_m – t_{m – 1},

де індекси m та m – 1 відносяться до m-х та (m – 1)-х ділянок траєкторії.

Таким чином, безрозмірний час  змінюється від 0 до 1 при русі робота вздовж m-ої ділянки, а реальний час змінюється від t_{m – 1} до t_m.

Ділянка 1. Поліном четвертого порядку

Нехай _mi () – поліноміальне представлення m-ої ділянки траєкторії для і-го зчленування. Тоді

Ці поліноми мають задовольняти обмеженням, наведеним в табл. 3.4:

.

Таким чином, рух і-ої ланки описується наступним виразом:

.

Два невідомих коефіцієнта C₁₃ та C₁₄ можна знайти з умов неперервності:

. (3.22)

Ділянка 2. Поліном третього порядку

Використовуючи підхід, застосований для першої ділянки, будемо мати:

Ці поліноми мають задовольняти таким обмеженням:

.

Так само як для попередньої ділянки можна знайти:

.

З умови (3.22) можна знайти вирази для C₁₃ та C₁₄:

(3.23)

В кінці другої ділянки маємо забезпечити виконання умов неперервності:

. (3.24)

Ділянка 3. Поліном четвертого порядку

Використовуючи підхід, застосований для першої ділянки, будемо мати:

Початкові умови мають наступний вид:

.

Так само як для попередньої ділянки можна знайти

.

Вираз для умови неперервності (3.24) забезпечується наступними формулами:

(3.25)

Нарешті, в кінці ділянки мають виконуватися наступні умови:

.

Ми використаємо ці вирази, щоб знайти всі інші коефіцієнти:

(3.26)

Таким чином, ми можемо визначити в явній формі лише п’ять з 14 коефіцієнтів: C₁₀, C₁₁, C₁₂, C₂₀, C₃₀.

Порядок виконання завдання та оформлення результатів

1. Рекомендується попередньо розібратися з наведеними теоретичними відомостями.

2. Відпрацюйте приклад 1. Результати (графіки положення, швидкості та прискорення) занесіть у звіт.

Приклад 1. Побудуємо графіки положення, швидкості та прискорення для траєкторії з двома ділянками та неперервним прискоренням: ₁₀ = 6, ₂(0) = 16=₂₀, _2f = 39. На проходження кожної ділянки витрачається приблизно 1 сек, а швидкість у проміжній точці дорівнює /сек.

Розв’язок. Відмітимо, що для першої ділянки

₁(t) = ₁₀ + a₁₁t + a₂₁t² + a₃₁t³,

та для другої ділянки:

₂(t) = ₂₀ + a₁₂t + a₂₂t² + a₃₂t³,

Використовуючи залежність , можна знайти коефіцієнти:

так як _1f = ₂₀ та , то будемо мати

;

;

;

.

А тепер можна побудувати графіки згідно виразів ₁(t) та ₂(t).

Рекомендується набрати та запустити наведений нижче лістинг програми в Matlab з метою набуття навичок практичного розв’язання представленої типової задачі.

%Спочатку задаємо вектор часу від нуля до 1 сек. з кроком 0.001

t1=0:0.001:1, %тепер можна задати усі інші параметри

a10=6; a20=16; a11=0; a12=18; a21=12; a31=-2; a22=33; a32=-28;

theta1=a10+a11*t1+a21*t1.^2+a31*t1.^3; theta1_t=a11+2*a21*t1+3*a31*t1.^2; theta1_tt=2*a21+6*a31*t1;

%побудуємо першу ділянку графіків

%команда subplot поділяє графічне вікно на декілька підвікон

subplot(2,2,1); plot(t1,theta1), hold on

subplot(2,2,2); plot(t1,theta1_t), hold on

subplot(2,2,3); plot(t1,theta1_tt), hold on

%вектор часу такий самий

t2=0:0.001:1; theta2=a20+a12*t2+a22*t2.^2+a32*t2.^3;

theta2_t=a12+2*a22*t2+3*a32*t2.^2; theta2_tt=2*a22+6*a32*t2;

t2=1:0.001:2, %проте ми його перевизначимо таким чином

% побудуємо другу ділянку графіків

subplot(2,2,1); plot(t2,theta2), hold on

%тепер використаємо декілька додаткових команд,

%щоб зробити наші графіки привабливішими

xlabel('Time, sec'), ylabel('Theta, deg'), title('Plot of \theta (t)')

grid on, subplot(2,2,2), plot(t2,theta2_t), hold on, xlabel('Time, sec'), ylabel('Speed, deg/sec'), title('Plot of \theta_{t} (t)'), grid on, subplot(2,2,3)

plot(t2,theta2_tt), hold on, xlabel('Time, sec'),

ylabel('Acceleration, deg/sec^2'), title('Plot of \theta_{tt} (t)'), grid on

%результати з графічного вікна Matlab мають бути занесені до звіту

3. Відпрацюйте приклад 2. Результати (матриці B і D) занесіть у звіт.

Приклад 2. Необхідно знайти інші дев’ять коефіцієнтів в явній формі, використовуючи вирази (3.23), (3.25) та (3.26).

Розв’язок. Перш за все, необхідно сформувати вектор невідомих коефіцієнтів C:

Наступним кроком буде формування матриці коефіцієнтів перед змінними C_ij – це буде матриця B (з дев’яти рівнянь у виразах (3.23), (3.25) та (3.26). Цю операцію необхідно здійснити самостійно. Матриця B та праві частини рівнянь у вигляді вектора D мають бути занесені у звіт.

Тепер можна розв’язати матричне рівняння BC = D в Matlab у символьній формі: C = B^-1D. Результати мають бути у звіті.

Рекомендується набрати та запустити наведений нижче лістинг програми в Matlab з метою набуття навичок практичного розв’язання представленої типової задачі. Зверніть увагу, що наведений лістинг частково розв’язує вказану задачу.

%перш за все, необхідно ввести декілька символьних змінних

syms C13 C14 C21 C22 C23 C31 C32 C33 C34

syms t1 t2 t3 theta_i1 theta_i0 theta_d_i0

syms theta_dd_i0 theta_i2 theta_if theta_d_if theta_dd_if

%формування вектору C

C=[C13;C14;C21;C22;C23;C31;C32;C33;C34];

%тут необхідно доповнити лістинг вектором D та матрицею B

D=……………….

B=………………..

%тепер можна нарешті знайти розв’язок

C=B^(-1)*D

%рекомендується спростити результати командою simple

simple(C)

%результати будуть у командному вікні Matlab

%скопіюйте їх, тому що вони знадобляться пізніше

4. Відпрацюйте приклад 3. Результати (коефіцієнти C_ij та графіки положення, швидкості та прискорення) занесіть у звіт.

Приклад 3. Потрібно знайти числове представлення положення, швидкості та прискорення для траєкторії типу 4-3-4 для початкових даних, представлених у табл. 3.5.

Таблиця 3.5

Початкові дані для планування траєкторії

Дані									1	2	3
	20	30	20	60	2	3	3	3	20	30	10

Розв’язок. Використовуючи результати попереднього прикладу, можна знайти невідомі коефіцієнти C_ij. Потім можна знайти залежності від часу для положення, швидкості та прискорення для всіх трьох ділянок.

Рекомендується набрати та запустити наведений нижче лістинг програми в Matlab з метою набуття навичок практичного розв’язання представленої типової задачі. Зверніть увагу, що наведений лістинг частково розв’язує вказану задачу.

%вводимо дані з табл. 2

t1=20;t2=30;t3=10; theta_i0=20; theta_i1=30; theta_i2=20; theta_if=60; theta_d_i0=2; theta_d_if=3; theta_dd_i0=3; theta_dd_if=3;

%тут мають бути вирази для знаходження коефіцієнтів C_ij з %попереднього прикладу

C13=………..

C14=………..

C21=………..

C22=………..

C23=………..

C31=………..

C32=………..

C33=………..

C34=………..

C10=theta_i0, C11=t1*theta_d_i0, C12=0.5*t1^2*theta_dd_i0

C20=theta_i1, C30=theta_i2, tau=0:0.01:1;

ro1=C10+C11*tau+C12*tau.^2+C13*tau.^3+C14*tau.^4;

%першу ділянку графіка для положення позначимо червоним

plot(20*tau,ro1, 'r'), hold on, ro2=C20+C21*tau+C22*tau.^2+C23*tau.^3;

%другу ділянку графіка для положення позначимо блакитним

plot(20+30*tau,ro2, 'b'), hold on,

ro3=C30+C31*tau+C32*tau.^2+C33*tau.^3+C34*tau.^4;

%третю ділянку графіка для положення позначимо зеленим

plot(50+10*tau,ro3, 'g'), %результати будуть в графічному вікні Matlab %та мають бути занесені у звіт. Графіки для швидкості та %прискорення побудуйте самостійно.

5. Розв’яжіть самостійно наступне типове завдання, аналогічне розглянутим.