2.3. Барометрические формулы

Интегралы основного уравнения статики, полученные при разных предположениях относительно изменения температуры и плотности воз­духа с высотой, носят общее название барометрических формул.

Интегральная форма основного уравнения статики(2.8):

. (2.9)

После интегрирования получим:

. (2.10)

Подставим в (2.8) вместо выражение, полученное из уравнения со­стояния влажного воздуха (1.26), произведя преобразования полученной формулы и проинтегрировав ее от 0 до Z и от p₀ до p получим:

. (2.13)

Интегральные формы (2.10) и (2.13) основного уравнения статики при­меняются для получения различных барометрических формул.

2.4. Модели атмосферы

Под моделями атмосферы подразумеваются предполагаемые измене­ния давления с высотой.

Однородная атмосфера. Под однородной атмосферой понимается такая атмосфера, в которой плотность воздуха с высотой не изменяется.

Для получения выражения изменения давления с высотой проинтегри­руем выражение (2.10):

Р = Р₀ – . (2.14)

В однородной атмосфере давление с высотой изменяется по линейному закону (см. рис. 2.2).

Рис.2.2. Распределение давления с высотой в однородной атмосфере

Подставим в (2.14) значение р равное нулю и получим выражение для определения высоты однородной атмосферы:

. (2.15)

Заменим в (2.15) р₀ правой частью уравнения состояния сухого воздуха (1.8) и после сокращения получим:

. (2.16)

Подставим в выражение (2.16) числовые значения R_с = 287 м²/с²К,

T = 273^°К (0°C), g = 9.81 м/с². Для этих значений высота однородной атмосферы будет равна 7990 м.

Поскольку плотность однородной атмосферы постоянная, а давление с высотой убывает, то и температура ее, равная по уравнению состояния:

(2.17)

понижается.

Возьмем производную от выражения (2.17):

. (2.18)

Подставим в полученное выражение (2.18), вместо , правую часть

основного уравнения статики (2.8):

(2.19)

и после сокращения запишем:

°/100м, (2.20)

где – градиент вертикального изменения температуры

Таким образом, в однородной атмосфере температура воздуха с высотой убывает по линейному закону:

. (2.21)

Политропная атмосфера. Атмосфера, в которой температура воздуха убывает с высотой по линейному закону, называется политропной.

Для политропной атмосферы справедливо выражение:

. (2.22)

Подставим (2.22) в выражение (2.13) и для сухого воздуха получим:

. (2.23)

После интегрирования (2.23) получим:

. (2.24)

Полученное выражение является барометрической формулой для по­литропной атмосферы.

Высота политропной атмосферы определяется из выражения:

. (2.25)

Высота политропной атмосферы при температуре Т₀=288°К (15°С) и градиенте вертикального изменения температуры /100м равна 44,3 км.

Реальная атмосфера. Выражение для изменения давления с высотой в реальной атмосфере определяется из формулы:

, (2.26)

где T_v среднее барометрическое значение температуры воздуха в слое. Выражение (2.26) известно в метеорологии как формула Лапласа.