1.5. Модели для определения состояния воздуха

Уравнение состояния сухого воздуха. Сухой воздух это такая смесь атмосферных газов, в составе которых отсутствует водяной пар. Состояние каждого из этих газов характеризуется температурой, давлением или плотностью (удельным объемом). Эти величины связаны между собой уравнением состояния газов.

При условиях, наблюдающихся в атмосфере Земли, основные газы, входящие в состав воздуха, ведут себя практически как идеальные газы. Уравнение состояния для механической смеси идеальных газов имеет вид:

p_i · v_i = R_i · T, (1.1)

где: р_i – парциальное давление i–го газа;

Т – температура смеси газов;

v_i – удельный объем i–го газа данной смеси;

R_i – удельная газовая постоянная идеального газа;

I – число газов, составляющих механическую смесь.

Согласно закона Дальтона, поведение каждого газа в механической смеси не зависит от присутствия других газов, а общее давление смеси равно сумме парциальных давлений, т.е.:

P = ; (1.2)

Пусть масса сухого воздуха равна единице, а масса i - го газа – m_i,

тогда удельный объем i - го газа определяется из выражения:

v_i = , (1.3)

где: v – удельный объем сухого воздуха.

Подставляя (1.3) в (1.1) и суммируя уравнения (1.1), получим:

(1.4)

или согласно (1.2):

p · v = R_c · T, (1.5)

где

R_c = (1.6)

естъ удельная газовая постоянная сухого воздуха R_c = 287 м²/с²К.

Выражение (1.5) представляет собой уравнение состояния сухого воз­духа.

Если вместо удельного объема v в уравнение (1.5) ввести плотность связанную с удельным объемом сухого воздуха v соотношением:

, (1.7)

то уравнение состояния сухого воздуха примет вид:

p = . (1.8)

Уравнение состояния влажного воздуха. Влажный воздух является тоже механической смесью, но уже сухого воздуха и водяного пара. Водяной пар может находиться в атмосфере и в жидком, и в твердом состояниях.

Уравнение состояния для водяного пара можно записать в виде:

e · v_п = R_п · T, (1.9)

где: e – парциальное давление водяного пара;

v_п – удельный объем водяного пара;

R_п – удельная газовая постоянная водяного пара,

R_п = 461,5 дж/кг К;

Для вывода уравнения состояния влажного воздуха выделим в атмо­сфере единичный объем влажного воздуха. Пусть в нем содержится s ед. веса водяного пара и (1– s) ед. веса сухого воздуха. Обозначим через v_п, v_с и v соответственно, удельные объемы водяного пара, сухого и влажного воздуха.

Так как v объем s ед. веса водяного пара и сухого воздуха (1– s) , то удельные объемы водяного пара и сухого воздуха соответственно равны:

v_п = (1.10)

v_c = (1.11)

Введем следующие обозначения:

Р – давление воздуха в выделенном объеме;

Т – температура выделенного объема воздуха;

е – парциальное давление водяного пара в данном объеме;

(Р – е) – парциальное давление сухого воздуха.

Уравнение состояния для водяного пара служит уравнение (1.9), а для состояния сухой части воздуха имеет вид:

(Р – е) · v_c = R_c T (1.12)

так как

= 1,608, (1.13)

поэтому

R_п = 1,608 R_c (1.14)

или

R_c = 0,688 R_п. (1.15)

Подставим в уравнения (1.7) и (1.9) значения удельных объемов по(1.10) и удельной газовой постоянной водяного пара по (1.9):

, (1.16)

или

e·v = 1,608 · R_c · s· ·T. (1.17)

(p – e) · = R_c · T, (1.18)

или

(p – e) · v_c = R_c · (1–s) · T. (1.19)

Сложив уравнения (1.18 и 1.19) и сократив одинаковые члены, получим уравнение состояния влажного воздуха:

р · v = R_c · T(1 + 0.688 s). (1.20)

В метеорологии множитель (1+0,688 s) относится к температуре. Для этого введено понятие виртуальной температуры:

Т_v = Т(1 + 0.688 s). (1.21)

Виртуальная температура может быть представлена в виде сумм:

T_v = T + ΔT_v , (1.22)

где ΔТ_v – виртуальный добавок, который определяется из выражения:

ΔT_v = 0,688s · T = 0,378 . (1.23)

Для насыщенного состояния водяного пара:

ΔT_v = 0,378 . (1.24)

Уравнение состояния для влажного воздуха с учетом виртуальной тем­пературы принимает вид:

p · v = R_c · T_v , (1.25)

или

р = R_c · , (1.26)

где

. (1.27)

Из сравнения уравнений (1.23) и (1.8) следует, что при одинаковых зна­чениях температуры и давления плотность влажного воздуха всегда меньше плотности сухого воздуха.