Вопрос 16
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее какое именно.
Случайные величины бывают двух типов:
• непрерывные;
• прерывные (дискретные).
Условимся в дальнейшем случайные величины обозначать большими буквами, а их возможные значения – соответствующими малыми буквами.
Пример:
Х- число попаданий при трех выстрелах:
х1 = 0;
х2 = 1;
х3 = 2;
х4 = 3.
Рассмотрим прерывную случайную величину Х с возможными значениями x1, x2, …, xn. Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина Х может принять каждое из них с некоторой вероятностью
Х= х1;
Х= х2;
Х= х3;
Х= х4.
Обозначим вероятности этих событий P(X=x1) = p1; P(X=x2) = p2; P(X=xn)=pn.
∑Pm,n = 1, так как несовместные события образуют полную группу. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если будет задано это распределение, т.е. в точности указано, какой вероятностью обладает каждое из событий. Этим устанавливается так называемый закон распределения случайной величины.
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Закон распределения прерывной случайной величины Х может быть задан в следующих формах:
• табличной;
• аналитической;
• графической.
Простейшей формой задания закона распределения прерывной случайной величины Х является таблица.
xi x1 x2 … xn
pi p1 p2 … pn
Такую таблицу называют рядом распределения случайной величины Х.
Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому изображению.
Для непрерывной случайной величины такой характеристики построить нельзя!!!
Для непрерывной случайной величины удобно воспользоваться не вероятностью события Х=х, а вероятностью события Х<х, где х – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от х и есть некоторая функция от х.
Эта функция называется функцией распределения случайной величины Х и обозначается F(х):
F(x) = P(X< x)
Функцию распределения F(x) называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.
Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.
Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения:
1.F(x) – неубывающая функция своего аргумента т.е. при x2 > x1 F(x2) > F(x1);
2. F(–∞) = 0;
3. F(+∞) = 1.
Вопрос 17
Замечание. Вышеприведенная формула справедлива для дискретной случайной величины, число возможных значений которой конечно. Если же случайная величина имеет счетное число возможных значений, то для нахождения математического ожидания используют формулу:
,
причем это математическое ожидание существует при выполнении соответствующего условия сходимости числового ряда в правой части равенства.
Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Свойства математического ожидания
Дисперсия случайной величины — мера разброса случайной величины, равная математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
