2.2.2. Построение кривых обеспеченности

Годовой сток различной заданной повторяемости определяется по кривым обеспеченности. С этой целью по материалам непосредственных наблюдений строятся эмпирические кривые. Сглаживание и экстраполяция эмпирических кривых обеспеченности осуществляется графически или аналитически с использованием некоторых типовых уравнений.

Графическая экстраполяция с предварительным спрямлением кривой на специальной клетчатке возможна при наличии длинного ряда наблюдений, а также, если экстраполяция незначительна.

Аналитические сглаживание и экстраполяция применяется при ограниченных рядах наблюдений или при наличии длинного ряда, когда требуется перенести параметры кривой обеспеченности методом аналогии на неизученные реки.

Сглаживание (выравнивание) эмпирических кривых распределения в данном случае заключается в том, что эмпирическая кривая заменяется такой теоретической кривой, моменты площади которой равны моментам площади эмпирической кривой.

Сопоставление эмпирических кривых обеспеченности расходов, модулей стока с некоторыми теоретическими кривыми обеспеченности, построенными для распределения случайных величин, показали их достаточно хорошее совпадение, поэтому эти кривые используются как техническое средство для сглаживания и экстраполяции эмпирических кривых до заданных пределов обеспеченности.

Для построения теоретической кривой обеспеченности, которая бы соответствовала эмпирической кривой, необходимо по данным наблюдения вычислить значения параметров ее дифференциального уравнения и произвести его интегрирование.

Параметрами теоретических кривых обеспеченности являются:

1) средне многолетняя величина, норма, годового стока (Q_о, М_о);

2) коэффициент вариации, изменчивости годового стока (C_v);

3) коэффициент асимметрии годового стока (C_s).

1. Рассчитать параметры теоретической кривой по методу наибольшего правдоподобия. Составить таблицу (табл. 3) для расчетов параметров по методу наибольшего правдоподобия.

Таблица 3

Расчет параметров методом наибольшего правдоподобия

№ пп	Qi	Qубыв		Lg k	k∙lgk
1	2	3	4	5	6	7
1	5,1	19	1,59	0,2	0,318	2,3
2	8,6	17,6	1,67	0,17	0,284	5,59
3	10,8	16,3	1,36	0,13	0,177	8,88
4	14,4	16	1,34	0,127	0,174	12,17
5	12	14,8	1,24	0,092	0,114	15,46
6	7,2	14,5	1,21	0,083	0,1	18,75
7	14,8	14,4	1,2	0,079	0,09	22,04
8	14,5	14	1,17	0,068	0,079	25,33
9	14	14	1,17	0,068	0,079	28,61
10	11,8	13,8	1,15	0,061	0,07	31,9
11	13,8	13,8	1,15	0,061	0,07	35,19
12	7,3	13,1	1,09	0,037	0,04	38,49
13	14	13	1,086	0,036	0,039	41,78
14	13,1	12,6	1,053	0,022	0,023	45,06
15	12,6	12,5	1,044	0,019	0,02	48,35
16	11,2	12,4	1,036	0,015	0,015	51,64
17	12,5	12,4	1,036	0,015	0,015	54,93
18	12,4	12	1,002	0,00087	0,00087	58,22
19	11,8	11,8	0,986	-0,00061	0,00601	61,51
20	16	11,8	0,986	-0,00061	-0,00601	64,8
21	19	11,2	0,936	-0,029	-0,027	68,09
22	12,4	10,8	0,9	-0,046	-0,0414	71,38
23	7,9	8,9	0,743	-0,129	-0,096	74,67
24	8,9	8,6	0,718	-0,144	-0,103	77,96
25	13	7,9	0,659	-0,181	-0,119	81,25
26	7,7	7,7	0,643	-0,192	-0,123	84,54
27	17,6	7,3	0,609	-0,215	-0,131	87,83
28	6	7,2	0,601	-0,221	-0,133	91,12
29	16,3	6	0,501	-0,3	-0,15	94,4
30	13,8	5,1	0,426	-0,37	-0,158	97,7

Вычислить статистики ₂ и ₃

.

По значениям статистик ₂ и ₃ по графикам найти значения C_v и C_s .

По соотношению C_v и C_s по таблице определить значения вероятности Р % для 1, 5, 10, 50, 80, 95, 99 % обеспеченности и построить кривую на клетчатке вероятности. В таблицах часто значения вероятностей даются для дискретных значений C_s, C_v, то значения Ф_р% для нужного значения C_s можно найти методом интерполяции, например, C_s равно 0,25, а имеются значения 0, и 0,3. Тогда берем значения отклонений для C_s 0,2 и 0,3, например, 3,33 (0,1% обеспеченности) и 3,52. Для значения C_s = 0,25 нормируемое отклонение составит (3,52 – 3,33): 2 = 3,43.

Данный метод не применяется.

2.Рассчитать параметры теоретической кривой графоаналитическим методом.

Вычисляют эмпирическую обеспеченность Р каждого члена статистического ряда по формуле

%,

где m - порядковый номер ранжированного ряда, n - число членов ряда.

С графика эмпирической кривой распределения снять координаты при значениях вероятности 5%, 50%, 95%. Значения расходов берутся из убывающего ряда для соответствующего значения вероятности. Например, при числе лет наблюдений накопленные вероятности ( ) составят: и т.д.

Легко заметить, что между 1-м и 2-м членами убывающего ряда расположится значение 5% обеспеченности. Точное значение расхода эмпирической обеспеченности получим путем интерполяции значений признака (расхода).

Аналогично поступают и при вычислении значений признака, соответствующих обеспеченности 50% и 95%.

На специальной клетчатке построить эмпирическую кривую распределения модульного коэффициента обеспеченности.

Рассчитать значения коэффициента скошенности S:

Q₅ = 17,85, Q₅₀ = 12,45, Q₉₅ = 5,26

В таблице нормированных отклонений значения S размещены в крайнем правом столбце. Проведя прямую линию по строке таблицы, увидим значения C_s кроме того, в предпоследнем столбце этой же таблицы снимают показания разности (Ф₅ – Ф₉₅) определить значение коэффициента асимметрии C_s.

Определить значения среднеквадратического отклонения  и среднего значения модульного коэффициента k (формула 2.9). Формула 2.4 легко может быть преобразована, путем замены значений признака на ). Найти значения Q_o и C_v. Значение среднего Q_o можно получить, преобразовав модульный коэффициент, т.е. Q₀ = kQ_p%. По формуле (2.4) определить значение C_v..Составить таблицу для вычисления ординат теоретической кривой (табл.4).

Таблица 4

Вычисление ординат теоретической кривой обеспеченности

графоаналитическим методом

P,%	1	5	10	25	50	75	90	95	99
p	2,68	1,77	1,32	0,62	-0,08	-0,71	-1,22	-1,49	-1,96
ФрСv	0,75	0,49	0,37	0,17	-0,02	-0,19	-0,34	-0,42	-0,55
kp= p Cv + 1	1,75	1,49	1,37	1,17	0,98	0,81	0,66	0,58	0,45
Qp =kp Qo	20,95	17,83	16,39	14	11,73	9,69	7,9	6,94	5,39

Проверить допустимость метода.

Из построенных теоретических кривых подобрать кривую наилучшим образом подходящую к эмпирической кривой. При этом следует обращать внимание на сходимость теоретических и эмпирических значений на концах эмпирической кривой.

3.Метод 3-х параметрических кривых:

0,01	2,34
0,1	2,17
1	2,07
5	2,02
10	1,96
20	1,85
30	1,78
40	1,71
50	1,56
60	1,48
70		1,37
80		1,23
90		1,19
95		1,14
99		1,06
99,9		0,987
99,99		0,916

4.Метод биноминальной кривой.

P,%	1	5	10	25	50	75	90	95	99
p	2,53	1,71	1,308	0,648	-0,046	-0,698	-1,256	-1,574	-2,164
ФрСv	0,708	0,479	0,366	0,181	-0,013	-0,195	-0,352	-0,441	-0,606
kp= p Cv + 1	1,708	1,479	1,366	1,181	0,987	0,805	0,648	0,559	0,394
Qp =kp Qo	20,44	17,7	16,35	14,14	11,81	9,63	7,76	6,69	4,72