Задачи к лекции №1

1.1

Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вылетающих из никелевого электрода, освещаемого ультрафиолетовым светом с длиной волны =220 нм. Работа выхода электронов из никеля А=4,84 эВ.

Ответ:

1.2

Найти число электронов N_э, вырываемых светом в одну секунду из катода вакуумного фотоэлемента, если ток насыщения, протекающий через него при освещении, равен 510^-10 А.

Ответ: N_э=I/e=3.110⁹ c^-1

1.3

Вычислить длину волны  для длинноволновой границы фотоэффекта на цинке, если работа выхода электрона из цинка А=3,74 эВ.

Ответ: =hc/A=330 нм.

1.4

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов при освещении цезиевого электрода монохроматическим светом оказалась равной Е_макс=0,15 эВ. Вычислить длину волны  света, применявшегося при освещении, если работа выхода электрона из цезия. А=1,89 эВ.

Ответ: =hc/(Е+A)=600 нм.

1.5

Уединённый медный шарик облучается ультрафиолетовым светом с длиной волны =200 нм. До какого максимального потенциала зарядится шарик, если работа выхода электрона из меди А=4,47 эВ.

Ответ:

1.6

Уединённый медный шарик облучается ультрафиолетовым светом. При каких длинах волн  облучающего света шарик заряжаться не будет, если работа выхода электрона из меди А=4,47 эВ?

Ответ. hc/A=274 нм.

1.7

В результате комптоновского рассеяния на свободном покоящемся электроне длина волны фотона с энергией Е_ф увеличилась в  раз. Найти кинетическую энергию электрона отдачи Е_е.

Ответ. Так как Е_е=h(-^), и h= h ^/, то Е_е = Е_ф(-1)/.

1.8

Фотон рентгеновского излучения с энергией Е_ф в результате комптоновского рассеяния на свободном покоящемся электроне отклонился от первоначального направления на угол . Определить кинетическую энергию Е_кин и импульс р_e электрона отдачи.

Ответ: , .

1.9

Гамма-квант с энергией h рассеивается на неподвижном электроне. Найти направления рассеянного кванта, чтобы при взаимодействии с веществом он мог породить электрон-позитронную пару.

Ответ: Электрон-позитронная пара может быть порождена, если -квант будет рассеян в конусе с предельным углом _пред, подчиняющимся соотношению: .

1.10

Фотон рентгеновского излучения с энергией Е_ф в результате комптоновского рассеяния на свободном покоящемся электроне отклонился от первоначального направления на угол . Показать на основе геометрических соображений, что импульс электрона по абсолютной величине окажется больше импульса падающего фотона, если фотон отклонится от первоначального направления на угол /2.

Ответ:

1.11

Найти кинетические энергии протона и электрона с приведенными длинами волн , равными 1 ФМ.

Ответ: Согласно соотношению де Бройля .

1. Для протона кинетическая энергия может быть рассчитана в классическом приближении: .

2. Для электрона кинетическую энергию нужно считать в релятивистском приближении, используя выражение E²=p²c²+m²c⁴. Так как при этих длинах волн энергией массы покоя электрона (mc²) по сравнению с кинетической энергией можно пренебречь, то

1.12

Показать, что при взаимодействии с веществом фотон сколь угодно высокой энергии, испытавший комптоновское рассеяние на неподвижном электроне строго назад (=) не может породить электрон-позитронную пару.

Ответ: . Чтобы быть способным породить электрон-позитронную пару, фотон, испытавший рассеяние, должен обладать энергией большей, чем 2m_ec² (h’>2m_ec²). Электрон-позитронная пара может быть порождена, если -квант будет рассеян в конусе с предельным углом _пред, подчиняющимся соотношению:. Если же направление рассеяния лежит вне этого конуса, то рождение электрон-позитронной пары невозможно. Для (h) _пред=60

1.13

Необходимо спроектировать ускоритель электронов для исследования структуры вещества с линейными размерами 1 ферми. Какая нужна кинетическая энергия электронов

Ответ: Чтобы исследовать структуру вещества с линейными размерами 1 ферми, необходимы электроны с длиной волны меньшей 1 ферми. Для электрона кинетическую энергию нужно считать в релятивистском приближении, используя выражение E²=p²c²+m²c⁴. Так как при этих длинах волн энергией массы покоя электрона (mc²) по сравнению с кинетической энергией можно пренебречь, то . Таким образом, Е_е200МэВ

2.1

Считайте, что электрон–однородный шарик с радиусом r_е=10^-14см. Найдите скорости экваториальных точек на его поверхности, обусловленные вращением со спином S=(3/4)^1/2 и сравните их со скоростью света..

Ответ: Для однородного шарика в классическом приближении собственный момент количества движения M выражается формулой: M=J, где J=2/5mr²-момент инерции шарика, а =v/r –угловая скорость. Отсюда получаем . Для сравнения скорость света равна 310¹⁰(см/с).

2.2

Покажите, что магнитный дипольный момент частицы с нулевым спином должен равняться нулю

Ответ: Это следует из определения дипольного момента: , где g-{g–фактор}, -ядерный магнетон, J –величина спина частицы в единицах .

2.3

Проверить коммутируют ли операторы:

Ответ: .

операторы: не коммутируют.

2.4

Проверить коммутируют ли операторы:

Ответ: .

операторы: коммутируют.

2.5

Проверить коммутируют ли операторы:

Ответ: .

операторы: коммутируют.

2.6

Показать, что в сферической системе координат оператор проекции момента количества движения . Использовать формулы, связывающие декартовы и сферические координаты, а также выражение для оператора в декартовой системе координат:

x=rsincos; y=rsinsin; z=rcos.

Ответ: Отметим сначала, что Выразим частную производную по  через производные по х, у, z. . Подставляя в это выражение соответствующие производные от х, у, z по , получаем . С учётом выражений для х и у. .

2.7

Частица со спином ½ находится в состоянии с определённым значением s_z=1/2. Определить вероятности возможных значений проекции спина на ось z’, наклонённую под углом  к оси z.

Ответ: Средний вектор спина s направлен по оси z и равен по величине ½. Проектируя его на ось z’, найдём, что среднее значение спина в направлении оси z’ есть < s_z’>=1/2соs. С другой стороны, имеем

s_z’=1/2(w₊ - w_-), где w_ -вероятности значений s_z’=1/2. Учитывая также, что w₊ + w_-+=1, найдём: w₊=cos²(/2); w_-= sin²(/2).

2.8

В лазере большое число атомов одновременно переводится в возбужденное состояние. Затем появление небольшого количества фотонов индуцирует лавинообразное излучение, в которое дают вклад все возбуждённые атомы, что приводит к образованию очень большого числа фотонов с совершенно одинаковой длиной волны, испускаемых строго в одном направлении. Можно ли надеяться, что кто-нибудь создаст подобное же устройство, излучающее нейтрино (частицы с массой, равной нулю, и спином ½)

Ответ: Нейтрино является фермионом, поэтому согласно принципу Паули, в одном и том же состоянии может находиться не более чем одна частица. Следовательно, нельзя получить поток нейтрино с высокой степенью когерентности: «нейтринный лазер» невозможно создать принципиально.

2.9

Радиопередатчик излучает сигнал мощностью 1МВт на частоте 1МГц.

а) Какова энергия (в эВ) каждого излучённого кванта?

б) Сколько квантов излучается за каждый период колебаний электромагнитного поля?

Ответ: Энергия кванта связана с частотой соотношением h. Отсюда получаем:

а) =6,62610^-24(Джс)10⁶(с^-1)= 6,62610^-18(Дж)0,62410⁹(эВ/Дж)=4,1310^-9эВ;

б) радиопередатчик мощностью 1МВт за каждый период колебаний излучает энергию

Е=10⁶(Вт)10^-6(с)=1Дж. Следовательно, за период колебаний испускается

N=E/0,15110¹⁸квантов.

2.10

Интенсивность излучение абсолютно чёрного тела I() описывается в интервале частот от + формулой Планка. Показать, как ведёт себя I() при малых ? При больших ?

Ответ: Формула Планка для спектрального распределения энергии излучения абсолютно чёрного тела имеет вид: , где . При малых  (hkT) распределение принимает вид (формула Рэлея-Джинса). При больших  (hkT ) (формула Вина).

2.11

Интенсивность излучение абсолютно чёрного тела I() описывается в интервале частот от + формулой Планка. При какой частоте на единичный интервал частот приходится максимальная энергия?

Ответ: Формула Планка для спектрального распределения энергии излучения абсолютно чёрного тела имеет вид: . Максимум спектра (Т,) определим, приравнивая нулю производную функции , где х=h/kT. Это условие приводит к трансцендентному уравнению: х=3(1-е^-х). Его удобно решать графически или методом итераций. Если в качестве первого приближения взять х=3, то уже после первой итерации с достаточной степенью точности получаем х2,822. Отсюда получаем .

3.1

Из опытов Резерфорда следует, что радиус ядра R меньше чем 10^-12см. Исходя из соотношения неопределённости, показать, что этот экспериментальный факт противоречит электронно-протонной модели ядра, предложенной Томпсоном.

Ответ: Если бы частица (данном случае электрон) находилась внутри ядра, то её импульс р определялся бы как . В релятивистском приближении энергия электрона может быть оценена по формуле Е=рс. Это даёт для электрона, находящегося в ядре значение .

Эта энергия значительно больше энергии электронов, наблюдаемых при  -распаде ядра.

3.2

Определить значения скалярного произведения s₁s₂ спинов (1/2) двух частиц в состояниях, в которых суммарный спин системы S= s₁+s₂ имеет определённые значения (0 или 1).

Ответ: Значение скалярного произведения двух квантовых векторов s₁ и s₂ может быть получено из условия S²= (s₁+s₂)². Отсюда получаем

S²= s₁²+s₂²+2s₁s₂; или s₁s₂=1/2{S(S+1)–s₁(s₁+1)–s₂(s₂+1)}. Таким образом, имеем: s₁s₂=1/4 при S=1; s₁s₂= -3/4 при S=0.

3.3

Пусть N невзаимодействующих между собой электронов с минимально возможной энергией заключены в некотором ящике объёмом V. Найти в нерелятивистском приближении чему равна энергия U всех электронов и давление этого так называемого вырожденного электронного газа.

Ответ: Согласно принципу Паули, в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного электрона. Поэтому в вырожденном электронном газе заполнены все состояния от наименьшей (_мин=0) до наибольшей (_макс=р²_макс/2m_e), величина которой определяется числом электронов в объёме V. Число квантовых состояний электрона с импульсом р в интервале от р до р+dp равно V4p²dp/h³. Умножая эту величину на 2 (две возможные проекции спина электрона) и интегрируя по импульсам электронов от 0 до р_макс, получаем полное число N в объёме V в состоянии с наименьшей возможной энергией:

. Полная энергия U складывается из энергий электронов, находящихся в различных квантовых состояниях . Подставляя сюда значение р_макс, находим энергию газа . Давление этого «вырожденного электронного газа» легко найти, если воспользоваться соотношением P=-dU/dV. Получаем .

3.4

Найти значения полного момента атома, если спин ядра атома равен 5/2 , а момент электронной оболочки составляет 3/2 . Для каждого значения полного момента J указать возможные значения проекций моментов m_J.

Ответ: Таким образом, может принимать 4 значения от с соответствующими им проекциями.

3.5

Используя формулу Вейцзекера, определить радиусы зеркальных ядер ⁷Li и ⁷Be, если дефекты масс атомов этих ядер равны, соответственно, 14,91МэВ и 15,77МэВ, r₀=1,4Фм .

Ответ: Кулоновская энергия равномерно-заряженной ядра-сферы равна . Из капельной модели ядра (формула Вейцзекера) следует, что разница энергий связи зеркальных ядер есть разница их кулоновских энергий

3.6

Дефект массы атома ⁹Be равен 11,35 МэВ. Определить энергию связи ядра ⁹Be относительно распада его на две  -частицы и нейтрон. Дефекты масс атома ⁴Не и нейтрона равны, соответственно 2,425МэВ и 8,071МэВ.

Ответ: =1,57МэВ

3.7

Найти энергию связи ядра, которое имеет равное число протонов и нейтронов, и радиус которого в два раза меньше радиуса ядра ⁶⁴Zn.

Ответ: . Отсюда находим А_Х =8. Учитывая, что это ядро имеет равное число протонов и нейтронов, получаем ядро . По формуле Вейцзекера W=A-A^2/3-  Z²/A^1/3., беря =15,75МэВ, =17,75МэВ и =0,71МэВ, получаем W= 49,32МэВ. В то же время, считая точно, получаем

3.8

До открытия нейтронов предполагалось, что ядра состоят из протонов и электронов. Покажите, что в таком случае атом ¹⁴N был бы бозе-частицей. Опытные факты (спектр молекулы азота) показывают, что этот атом есть ферми-частица. Это было первое свидетельство в пользу существования новой ядерной частицы. Покажите, как нейтронная гипотеза решает эту задачу.

Ответ: Если бы ядра состояли из электронов протонов, то в ядре атома азота должно было бы быть 14 протонов и 7 электронов. Кроме того, в электронной оболочке атома должны быть ещё 7 электронов. Следовательно, всего в атоме азота содержалось бы 28 фермионов. Суммарный собственный момент (спин) такой системы должен быть целым. Это противоречило эксперименту, который указывал на полуцелый спин. Такое противоречие с экспериментом, известное в истории ядерной физики как «азотная катастрофа», легко снимается, если предположить существование электрически нейтральной ядерной частицы (нейтрона) с массой протона и с полуцелым спином. В этом случае атом азота содержит 7 протонов и 7 нейтронов в ядре и 7 электронов в электронной оболочке. Спин такой системы будет полуцелым, и атом азота, следовательно, должен быть ферми-частицей.

3.9

Что представляют собой мюонные атомы? Почему имеет смысл использовать мюонные атомы при изучении структуры ядра?

Ответ: Мюонный атом (мюоний) – это атом, в котором электрон замещен на мюон. Так как боровский радиус у мюония в (m_/m_e=207) раз меньше чем у обычного атома, то «орбита» мюона в 1s-состоянии в значительной мере находится в области ядра. Это обстоятельство позволяет исследовать структуру ядра.

4.0

Величина W/A даёт среднюю энергию связи одного нуклона в ядре. Энергия отрыва нуклона –это энергия, которая требуется, чтобы удалить из ядра один нуклон. Выразите энергию отрыва протона через среднюю энергию связи.

Ответ: Пусть таким нуклоном является протон. В этом случае энергия отрыва нуклона (протона) S_p может быть определена как S_p=M(Z,N)-M(Z-1,N)-m_p. Из определения средней энергии связи W(Z,N)/A=[M(Z,N)-Zm_p-Nm_n]/A следует, что S_p=W(Z,N)-W(Z-1).

4.1

Вычислите энергию перехода 2p1s в мюонном атоме ²⁰⁸Pb при предположении, что ядро ²⁰⁸Pb точечное. Сравните с экспериментальным значением этой величины 5,8 МэВ.

Ответ: Для водородоподобного мюонного атома . В этом случае энергия 2p1s перехода в мюонном атоме ²⁰⁸Pb равна .

4.2

Опишите, как определить экспериментально следующие характеристики дейтрона:

а) энергию связи; б) спин; в) изоспин

Ответ:

а) энергию связи дейтрона можно определить из эксперимента по нахождению порога развала дейтрона при взаимодействии -квантов соответствующих энергий с мишенью из тяжёлого водорода.

б) спин дейтрона можно найти, изучая расщепление полностью ионизованных пучков атомарного тяжёлого водорода в сильном магнитном поле.

в) изоспин, используя закон сохранения, в специально подобранной ядерной реакции.

4.3

Используя формулу Вейцзекера, найти какая энергия освобождается при делении 1г ²³⁵U под действием тепловых нейтронов на два симметричных осколка. Считать, что деление сопровождается вылетом двух нейтронов.

Ответ: Согласно формуле Вейцзекера энергия связи ядра определяется уравнен.:

, где А -массовое число; Z -число протонов; N - число нейтронов в рассматриваемом ядре; =15,75 МэВ; =17,75 МэВ; =0,71 МэВ; =24,7 МэВ; Подставляя соответствующие значения в формулу Вейцзекера получаем: W_U=1777,5МэВ; W_Pd=980,7МэВ. Энергия, освобождающаяся при делении ядра урана под действием теплового нейтрона, равна разности масс ядер

Е=(М_U+m_n)-(2M_Pd+2m_n) = W_Pd- W_U=183,9МэВ.

4.4

Определить энергии связи и удельные энергии связи ядер при заданных дефектах их атомных масс ⁴Не(=2,425), ⁷Li(=14,908), ¹²С, ¹³С(=3,125) и ²⁷Аl(=-17,197). (¹H=7,289); (n=8,071).

Ответ: Энергия связи ядра определяется выражением: W_св=M_яд-Zm_p-(A-Z)m_n; M_яд= M_ат- Zm_e, в пренебрежении энергией связи электронов. В то же время атомный дефект масс определяется как (A,Z)= M_ат-uA, где u- атомная единица массы а А- .атомный номер ядра. Отсюда получаем W_св(A,Z)= (A,Z)-Z(₁H¹)-(A-Z)_n.

4.5

Рассмотрите эксперимент с эффектом Мёссбауэра, в котором регистрируемый фотон, падающий в гравитационном поле, приобретает дополнительную энергию. Почему такой опыт нельзя провести с оптическими фотонами? (см. R.V.Pound, J.L.Snider, Phys. Rev., 140B,788,(1965)).

Ответ: Согласно специальной теории относительности всякая энергия обладает гравитационной (тяготеющей) массой. Причём приращение энергии соответствует разности потенциальных энергий точек, между которыми производятся измерения . Так как энергия оптических фотонов на три порядка меньше ядерных, то изменение их энергии в предлагаемом опыте не поддаётся измерению.

4.6

Найдите скорость источника мёссбауэровской установки в опыте Паунда и Ребке по измерению изменения энергии  - кванта в гравитационном поле Земли (h=22,6 м; источник ⁵⁷Fe).

Ответ:

4.7

Уровень ядра ⁵⁷Fe, при распаде которого испускается  -квант с энергией 14,4 кэВ, имеет время жизни 98 нс. Вычислите в эВ полную ширину Г этого уровня на половине максимума.

Ответ: Так как =h/Г, то Г=6,62610^-276,2410¹¹/9810^-9=0,4210^-9эВ.

4.8

Означает ли отсутствие массы покоя у частицы, что эта частица не обладает гравитационным взаимодействием? Если не означает, то каким образом найти силу взаимодействия этой частицы с гравитационным полем.

Ответ: Нет, не означает. Согласно специальной теории относительности всякая энергия обладает гравитационной (тяготеющей) массой.

4.9

Напишите критерии для массы атома m(A,Z), позволяющие определять случаи, когда ядро (A,Z) стабильно относительно: а) –распада; б) электронного распада; в) позитронного распада; г) электронного захвата.

Ответ: а) М(A,Z)-М(A-4,Z-2)-m_0; б) М(A,Z)-М(A,Z+1)-m_е0 ;в) М(A,Z)-М(A,Z-1)-m_е0. М(A,Z)-М(A,Z-1)-m_е0.

5.1

Период полураспада ²³⁴U равен Т_1/2=2,4810⁵ лет. Какая доля первичных атомов ²³⁴U осталось бы на Земле в настоящее время, если бы происходил только процесс радиоактивного распада этого элемента (возраст Земли t=4,510⁹ лет)? Как объяснить, что в природном уране содержится примесь ²³⁴U в количестве 0,055%?

Ответ: . Существование ²³⁴U обязано  -распаду ²³⁸U и  ^- -распаду ²³⁴Th и ²³⁴Pa. .

5.2

Ядро ⁶⁴Cu превращается с вероятностью 62% в ядро ⁶⁴Ni и с вероятностью 38% в ядро ⁶⁴Zn. Период полураспада ядра ⁶⁴Cu составляет 12,8 ч. Через какое время интенсивность регистрируемых спектрометром электронов снизиться в два раза?

Ответ: интенсивность регистрируемых спектрометром электронов снизиться в два раза через 12,8 часа.

5.3

В настоящее время в природном уране содержится 99,28% ²³⁸U и 0,72% ²³⁵U. Вычислить возраст Земли в предположении, что в момент образования солнечной системы количества ²³⁸U и ²³⁵U были одинаковыми.

Ответ:

5.4

Распад покоящихся ядер ²¹⁰Ро происходит из основного состояния и сопровождается испусканием двух групп -частиц: основной с энергией Е_0=5,30 МэВ и слабой (по интенсивности) с энергией Е_1=4,50 МэВ. Найти энергии  -распадов этих ядер и энергию -квантов, испускаемых дочерними ядрами.

Ответ:

5.5

Неподвижное ядро ⁶Не испытывает  -распад, в результате которого дочернее ядро оказалось непосредственно в основном состоянии. Энергия распада Q=3,50 МэВ. Под каким углом к направлению вылета электрона испущено нейтрино, если электрон с энергией Е_е=0,60 МэВ вылетел под прямым углом к направлению движения ядра отдачи?

Ответ: При условии Е_еЕ_ядра

5.6

Оценить высоту центробежного барьера для  -частицы с l=3, вылетающей из ядра ²³⁸U.

Ответ:

5.7

Определить энергию отдачи конечного ядра, образующегося при е-захвате в ядре ⁷Ве.

Ответ: е-захват идёт по схеме: с выделением энергии Q=0,861МэВ. Поскольку полный импульс атома равен 0, то ; из соотношения m_<<m_Li, следует, что E_Li .

5.8

Покажите, что энергией отдачи протона можно пренебречь при  - распаде нейтрона

Ответ: . Так как импульс протона равен суммарному импульсу электрона и антинейтрино и Е_=Е_р+(Е_е+Е_), то в любом случае .

5.9

Объяснить, почему ^- -распад ядра ²⁴Na происходит не на основной (0⁺) или первый возбуждённый (2⁺) уровни, а на второй возбуждённый (4⁺) уровень ядра ²⁴Мg.

5.10

Рассчитать верхнюю границу спектра электронов распада трития: ³Н³Не+ е^-+_е. Определить вероятное значение орбитального момента пары лептонов. ³Н=14,950 МэВ; J^=1/2⁺ ³Не=14,931 МэВ; J^=1/2⁺