Міністерство Освіти і Науки, Молоді та Спорту України Національний Авіаційний Університет

Курсова робота

з дисципліни:

«Математичні методи та моделі в розрахунках на ЕОМ»

Первевірила: Виконав студент

Власенко П.О. групи МЕФ-301

Костюк Є.П.

Варіант № 8

Київ 2012

1. Вирішити СЛАР

2. Короткі теоретичні відомості

3. Програма

4. Результати

2.1 Робота з матрицями

2.2 Короткі теоретичні відомості

2.3 Програми

2.4 Результати

3.1 Вирішити нелінійне рівняння графічним та аналітичним методом

3.2 Короткі теоретичні відомості

3.3 Програма

3.4 Результати

4.1 Вирішити систему нелінійних рівнянь графічним та аналітичним методом

4.2 Короткі теоретичні відомості

4.3 Програма

4.4 Результати

5.1 Знайти мінімум функції методом перебору та дихотомії(половинного поділу

5.2 Короткі теоретичні відомості

5.3 Програма

5.4 Результати

6.1 Знайти кубічну, квадратичну та лінійну апроксимацію заданих точок

6.2 Короткі теоретичні відомості

6.3 Програма

6.4 Результати

7.1 Знайти похідну функції в точці, використовуючи Matlab

7.2 Короткі теоретичні відомості

7.3 Програма

7.4 Результати

8.1 Знайти інтеграл функції, використовуючи Matlab

8.2 Короткі теоретичні відомості

8.3 Програма

8.4 Результати

1. Вирішити слар

2. Короткі теоретичні відомості

Система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) — в лінійній алгебрі це система лінійних рівнянь виду:

Це система m лінійних рівнянь з n невідомими, де

- є невідомими,

 - є коефіцієнтами системи,

 - вільними членами.

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь відіграють важливу роль у математиці, оскільки до них зводиться велика кількість задачлінійної алгебри, теорії диференціальних рівнянь, математичної фізики тощо, та областей фізики й техніки, де застосовуються ці математичні теорії.

1.3 Програма

clc

clear all

A=[[1.63,1.27,-0.84];[1.27,0.65,1.27];[-0.84,1.27,-1.21]]

B=[1.51;0.63;2.15]

x=inv(A)*B

1.4 Результат

A =

1.6300 1.2700 -0.8400

1.2700 0.6500 1.2700

-0.8400 1.2700 -1.2100

B =

1.5100

0.6300

2.1500

x =

-0.2564

1.5059

-0.0183

2.1 Робота з матрицями

2.2 Короткі теоретичні відомості

Матриця — математичний об'єкт, записаний у вигляді прямокутної таблиці чисел (чи елементів кільця) і допускаючий операції (додавання, віднімання, множення тамноження на скаляр). Зазвичай матриці представляються двовимірними (прямокутними) таблицями. Іноді розглядають багатовимірні матриці або матриці непрямокутної форми. В даній статті вони розглядатися не будуть..

Матриці є корисними для запису даних, що залежать від двох категорій, наприклад: для коефіцієнтів систем лінійних рівнянь та лінійних перетворень.

Горизонтальні лінії в матриці звуть рядками, вертикальні — стовпцями.

Матрицю, що складається з m рядків та n стовпців, називають матрицею m-на-n (або mn-матрицею), а m і n — її розмірністю.

Елемент матриці A, що знаходиться на перетині i-го рядка з j-им стовпчиком, називають i,j-им елементом або (i,j)-им елементом A.

Записують це як A_i,j чи A[i,j], або, в нотації мови програмування C, A[i][j].

Часто пишуть   для означення матриці A розмірності n x m, де кожен елемент матриці A[i,j] позначають як a_ij для всіх 1 ≤ i ≤ n та 1 ≤ j ≤ m.

Приклад

Матриця       є матрицею 4×3. Елемент A[2,3], або a_2,3 дорівнює 7.

2.3 Програма

clc

clear all

%Матриці

A=[[4,3,-2,-4];[3,-4,3,3];[-2,3,-2,5];[-4,3,5,-3]]

C=[[12,-2,1,-2];[-2,4,1,-2];[1,1,6,1];[-2,-2,1,4]]

%Обернені Матриці

V1=inv(A)

V2=inv(C)

%Транспоновані

B1=A'

B2=C'

%Детермінант Матриці

D1=det(A)

D2=det(C)

2.4 Результат

A =

4 3 -2 -4

3 -4 3 3

-2 3 -2 5

-4 3 5 -3

C =

12 -2 1 -2

-2 4 1 -2

1 1 6 1

-2 -2 1 4

V1 =

0.1566 0.1403 0.0371 -0.0067

0.1403 0.0356 0.1470 0.0935

0.0371 0.1470 0.0230 0.1359

-0.0067 0.0935 0.1359 -0.0045

V2 =

0.1613 0.2097 -0.0968 0.2097

0.2097 0.6559 -0.2258 0.4892

-0.0968 -0.2258 0.2581 -0.2258

0.2097 0.4892 -0.2258 0.6559

B1 =

4 3 -2 -4

3 -4 3 3

-2 3 -2 5

-4 3 5 -3

B2 =

12 -2 1 -2

-2 4 1 -2

1 1 6 1

-2 -2 1 4

D1 = 1347

D2 = 372.0000

3.1 Вирішити нелінійне рівняння графічним та аналітичним методом

3.2 Короткі теоретичні відомості

Алгебраїчним нелінійним рівнянням степеня n називається рівняння типу , де   є многочленом степеня n.

Тобто, таке рівняння має такий вигляд:

, де   називають коефіцієнтами рівняння. Також   є переважно елементами множини дійсних, або комплексних чисел.

Найважливіші випадки нелінійних алгебраїчних рівнянь:

• Квадратні рівняння  ;

• Кубічні рівняння  ;

• Біквадратні рівняння  .

3.3 Програма

%e^(-x)-x=0

clc

clear all

%Графічний метод

ezplot('exp(-x)-x',[-8,8])

hold on

ezplot('x*0-y',[-8,8])

hold off

grid on

%Аналітичний метод

syms x

y0='exp(-x)- x'

y=solve(y0,x)

y0=subs(y)

3.4 Результат

y0 = exp(-x)- x

y =exp(.26987413757344922387738245114716)

y0 = 0.5671

4.1 Вирішити систему нелінійних рівнянь графічним та аналітичним методом

4.2 Короткі теоретичні відомості

В загальному випадку система з n нелінійних рівнянь з n невідомими подається у вигляді:

     

4.3 Програма

%x=sin(x)+sin(y)-1=0

%y=x^2-y ^2-1=0

clc

clear all

%Гафічний метод

ezplot(' sin(x)+sin(y)-1-x',[-8,8],[-8,8])

hold on

ezplot('x^2-y ^2-1-y',[-8,8],[-8,8])

hold off

grid on

%Аналітичний метод

syms x y

y=solve(' sin(x)+sin(y)-1-x','x^2-y ^2-1-y',x,y)

x0=subs(y.x)

y0=subs(y.y)

4.4 Результат

y =

x: [1x1 sym]

y: [1x1 sym]

x0 =

-1.4111

y0 =

0.6141

5.1 Знайти мінімум функції методом перебору та дихотомії(половинного поділу)

5.2 Короткі теоретичні відомості

Метод перебору (метод рівномірного пошуку) - найпростіший з методів пошуку значень дійсно-значних функцій за будь-яким із критеріїв порівняння (на максимум, на мінімум, на певну константу). Стосовно до екстремальних задач є прикладом прямого методу умовної одномірної пасивної оптимізації.

Дихотомія - роздвоєність, послідовне поділ на дві частини, не пов'язані між собою. Дихотомічне розподіл у математиці, філософії, логіці і лінгвістиці є способом освіти взаємовиключних підрозділів одного поняття або терміна і служить для утворення класифікації елементів.