Числовые и функциональные ряды:
Понятие числового ряда, суммы ряда. Необходимый признак сходимости ряда.
Свойства сходящихся рядов.
Сравнительный признак сходимости знакоположительных рядов. Эталонные ряды.
Признак Даламбера, для каких видов числовых рядов он эффективен.
Радикальный признак Коши, для каких видов числовых рядов он применяется.
Интегральный признак Коши-Маклорена, для каких рядов его следует применять.
Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Оценка суммы и остатка такого ряда. Понятие абсолютной и условной сходимости знакочередующегося ряда.
Понятие функционального ряда и области его сходимости. Равномерная и абсолютная сходимость. Свойства равномерно и абсолютно сходящихся рядов.
Понятие степенного ряда. Теорема Абеля.
Интервал и радиус сходимости степенного ряда, их нахождение.
Ряд Тейлора и ряд Маклорена. Условия разложения функции в ряд Тейлора.
Ряды Маклорена для некоторых элементарных функций, интервалы их сходимости, разложение более сложных функций. Применение степенных рядов в приближённых вычислениях.
Понятие тригонометрического ряда. Формулы Фурье для нахождения коэффициентов ряда для периодической функции, заданной в интервале
и
.
Ряд Фурье для чётных и нечётных фукций.
Теорема Дирихле об условиях разложения функции в ряд Фурье. Ряд Фурье функции, заданной в интервале
.Ряд Фурье в комплексной форме. Понятие амплитудного и фазового спектров функции.
Понятие интеграла Фурье.
Преобразование Фурье. Синус и косинус преобразования Фурье.
Составил:
Лектор потока,
зав. кафедрой Прикладной математики,
доктор физ.-мат.наук, профессор М.М.Никитин
Утверждено на заседании кафедры 28 ноября 2012 г. (протокол № 4).
Темы курса Математики, не вошедшие в учебный план 1-го семестра
Функции комплексного переменного – часть 1:
Понятие комплексного числа, его действительной и мнимой части.
Алгебраическая форма записи комплексного числа, понятия чисел равных и комплексно-сопряжённых.
Арифметические действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме.
Геометрическое представление комплексного числа. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа.
Тригонометрическая и показательная форма записи комплексных чисел. Переход из одной формы записи комплексного числа в другую.
Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа. Формулы Муавра.
Ряды комплексных чисел. Понятия абсолютной и условной сходимости таких рядов.
Понятие функции комплексного переменного, её предела и непрерывности.
Показательная, тригонометрические и гиперболические функции комплексного переменного.
Логарифмическая, обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции комплексного переменного.
Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.
Сопряжённые гармонические функции.
Понятие аналитической функции комплексного переменного в области. Необходимые и достаточные условия аналитичности.
Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексного переменного.
Понятие интеграла от функции комплексного переменного и его основные свойства. Вычисление интегралов.
Основная теорема Коши. Интегральная формула Коши.
Интеграл Коши, интеграл типа Коши. Некоторые следствия из интегральной формулы Коши.