Определённый интеграл:
Схема составления интегральной суммы и определённого интеграла для данной функции в данном интервале. Геометрический смысл определённого интеграла.
Условия существования определённого интеграла (пояснить геометрически). Свойства определённого интеграла (пояснить геометрически).
Среднее значение функции в интервале, её нахождение с помощью определённого интеграла (пояснить геометрически).
Формула Ньютона-Лейбница. Сходство и различие определённого и неопределённого интегралов.
Сформулировать методы вычисления определённых интегралов (непосредственное, интегрирование по частям, замены переменной).
Несобственные интегралы по бесконечному промежутку. Установление их сходимости.
Несобственные интегралы от неограниченной функции. Установление их сходимости.
Вывод формул для вычисления площадей плоских фигур.
Вывод формул для вычисления объёмов тел по площади поперечного сечения и тел вращения.
Вывод формул для вычисления длин дуг плоских кривых и площадей поверхности вращения.
Функции нескольких переменных:
Понятие функции двух (и более) независимых переменных, область определения такой функции. График функции двух переменных.
Определение предела функции
при
.Дать определение непрерывности функции двух независимых переменных в точке и в области. Привести примеры разрывных функций.
Определение частных производных функции двух независимых переменных по каждой из них. Геометрический смысл частных производных функции.
Определение частного приращения и частного дифференциала функции двух переменных по каждой переменной.
Определение полного приращения и полного дифференциала функции и записать формулу вычисления полного дифференциала.
Нахождение частных производных высшего порядка. Условия равенства смешанных производных.
Получить формулу полного дифференциала второго порядка функции двух переменных.
Понятие сложной функции нескольких переменных. Формулы дифференцирования сложной функции.
Записать формулы дифференцирования неявно заданной функции.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности S, заданной уравнением
и
.Определение экстремума функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в заданной области D.
Кратные интегралы:
Определение двойного интеграла и его геометрический смысл. Основные свойства двойного интеграла.
Среднее значение функции в плоской области, её геометрический смысл.
Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат. Сведение двойного интеграла к повторному, выбор порядка интегрирования.
Схема перехода в двойном интеграле от декартовых координат к полярным.
Схема составления интегральной суммы для функции трёх переменных в некоторой области трёхмерного пространства. Тройной интеграл и его свойства.
Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.
Замена переменных в тройном интеграле. Переход от декартовых координат к цилиндрическим и сферическим.