МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ)

Дисциплина: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Факультет:___Управление,_____курс I ,_____группы___1бАСУ1-3____

Семестр:____осенний ( I-й )______2012-2013 учебного года__________

Лектор:___проф. М.М. Никитин,__(лекции – 68 часов на весь курс)____

Теоретические вопросы для подготовки к экзамену

Пределы и непрерывность функций:

1. Сформулировать определения и привести графическую иллюстрацию бесконечно малой и бесконечно большой величин при и .

2. Определения предела функции в точке и на бесконечности. Основные теоремы о пределах. Определение предела числовой последовательности.

3. Записать формулы 1-го и 2-го замечательных пределов и следствий из них, для вычисления каких пределов они используются.

4. Сравнение бесконечно малых величин. Относительный порядок малости, эквивалентные бесконечно малые. Наиболее часто встречающиеся соотношения эквивалентности бесконечно малых.

5. Виды неопределённостей. Приёмы для раскрытия неопределённостей.

6. Односторонние пределы функции в точке. Условия непрерывности функции в точке и на интервале. Свойства функций, непрерывных в точке и в замкнутом промежутке.

7. Разрыв функции в точке. Типы разрывов, их идентификация и геометрическая иллюстрация.

Производные функций одной переменной:

1. Определение производной функции одной переменной, её физический и геометрический смысл.

2. Понятия непрерывности и дифференцируемости функции в точке, графические примеры. Приращение дифференцируемой функции.

3. Правила и формулы дифференцирования функций. Правила дифференцирования сложной и обратной функций, параметрически заданной функции.

4. Приём логарифмического дифференцирования. Производная показательно-степенной функции. Дифференцирование неявно заданной функции.

5. Дифференциал функции одной переменной, его связь с производной функции и её приращением. Геометрический и физический смысл дифференциала.

6. Производные и дифференциалы высших порядков, их вычисление.

7. Свойства дифференцируемых функций (теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши).

Приложения производной:

1. Определение возрастающей и убывающей на интервале функции. Необходимое и достаточное условие возрастания и убывания функции в интервале.

2. Область определения функции (привести простые примеры). Схема полного исследования функции и построение её графика.

3. Понятие экстремума функции, виды экстремумов. Необходимые условия существования экстремума функции в точке.

4. Достаточные условия (1-е и 2-е) существования экстремума функции.

5. Схема исследования функции на экстремум. Схема нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в интервале.

6. Определение выпуклости и вогнутости кривой в интервале, точки перегиба кривой. Необходимые и достаточное условия существования точек перегиба.

7. Асимптоты кривой, виды асимптот. Схема отыскания вертикальных асимптот кривой.

8. Уравнение наклонной асимптоты кривой, формулы нахождения параметров этого уравнения. Случаи отсутствия у кривой наклонной асимптоты.

9. Определения касательной и нормали к кривой в заданной точке, вывод их уравнений.

10. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей с помощью правила Лопиталя.

Неопределённый интеграл:

1. Определение первообразной функции и неопределённого интеграла, его геометрический смысл. Критерий правильности результата нахождения первообразной. Понятие неберущихся интегралов.

2. Понятие определённого интеграла и его геометрический смысл. Различие между неопределённым и определённым интегралами (привести простой пример). Формула Ньютона-Лейбница.

3. Записать таблицу основных неопределённых интегралов. Сформулировать свойства неопределённых интегралов.

4. Свойство инвариантности основных формул интегрирования. Метод интегрирования подведением под знак дифференциала. (Привести простой пример).

5. Метод интегрирования по частям. Основные типы интегралов, берущихся методом интегрирования по частям. Циклические интегралы.

6. Метод подстановки. Формула замены переменной в неопределённом интеграле. Принцип выбора подходящей подстановки. Основные этапы проведения замены переменной.

7. Интегрирование простейших иррациональностей. Какие выбираются алгебраические подстановки при интегрировании иррациональных функций. (Привести простой пример).

8. Использование тригонометрических подстановок при интегрировании простейших иррациональных функций. (Привести простой пример).

9. Интегрирование функций, содержащих квадратный трёхчлен в знаменателе дроби. (Привести простой пример).

10. Интегрирование рациональных дробей. Схема разложения правильной рациональной дроби на простейшие слагаемые. Метод неопределённых коэффициентов.

11. Интегрирование дифференциальных биномов. Подстановки Чебышева. (Привести простой пример).

12. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка, тангенциальная подстановка. Случаи интегрирования без подстановок. (Привести простые примеры).