11.Формулы Литтла.

Для систем с ожиданием в стационарном режиме:

λ – интенсивность входного потока;

µ - интенсивность обслуживания;

ρ = λ/µ - параметр загрузки системы;

ρ/m = λ/(m∙µ) – загрузка, приходящаяся на один прибор.

Условие для системы с ожиданием:

(ρ/m)<1.

Формулы Литтла:

1. Q = λ∙T,

Т – среднее время пребывания заявки в системе.

2. q = λ∙W,

W – среднее время ожидания заявки в системе.

3. q_s = λ∙V = λ∙(1/µ) = λ/µ = ρ,

q_s – среднее число приборов, занятых обслуживанием.

Q = λT = λ(W + V) = λW + λV = q + ρ => Q = q + ρ

12.Марковские системы.

Система называется марковской, если Q(t) (случайный процесс) – марковский.

Q(t) – случайный процесс с неприрывным временем t ≥ 0 и с множеством состояний Z = (0,1,2…) называется марковским, если он обладает таким свойством

P{Q(t+s)=j/Q(t)=i,Q(t_n-1)=i_n-1,….Q(t₁)=i₁}=P(Q(t+s)=j/Q(t)=i – вероятность перехода из i в j за время s в момент t.

Цепь Маркова называется однородно, если переходная вероятность не зависит от момента, в которой происходит переход.

P{Q(t+s)=j/Q(t)=i,}= P(Q(s)=j/Q(0)=i/

13.Система уравнений Колмогорова.

Система уравнений Колмогорова – это линейная система, если даны вероятности состояний в момент 0, то эта система решается и вероятности всех состояний находятся как функции времени.

{P^’_k(t)=∑P_i(t)λ_ik, k=0,1,2…} – система уравнений Колмогорова.

Для стационарных вероятностей:

0 = ∑P_i(t)λ_ik.

СМО является марковской тогда и только тогда, когда u_k и U_k имеют показательный закон распределения.

Марковское свойство показательного распределения:

А(t)=P(u_k<t)={1 – e^-λt, t>;

{0, t≤0.

(для U_k вместо λ будет µ).

Источником марковости систем обслуживания является марковское свойство показательного распределения.

Марковское свойство:

Предположим, что некоторая техническая операция длится случайное время u, распределенная по показательному закону. Предположим, что эта операция уже длилась некоторое время, тогда остаточное время длительности операции имеет такой же закон распределения, как и вся операция, т.е. операция с показателем λ.

14.Марковское свойство процесса q(t) в системах /m/m/m/.

Поведение процесса в будущем после t определяется следующими тремя факторами:

1. Моментами окончания обслуживания заявок, которые в момент t находились на приборах;

2. Моментами прихода новых заявок после t;

3. Моментами окончания обслуживания заявок пришедших после t.

Не один из этих факторов не зависит от того, что происходило в системе до момента t. Для фактора 1 это связано с Марковским свойством показательного распределения времени обслуживания. Для фактора 2 это связано с Марковским свойством показательного распределения интервала входного потока. Для фактора 3 это вытекает из независимости времени обслуживания между собой и независимости их от входного потока.

1

2