12

ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра «Прикладная математика»

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА к КУРСОВОй работе

СИТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Выполнил :

Санкт-Петербург

2012

СОДЕРЖАНИЕ

В В Е Д Е Н И Е

1.Структура и классификация СМО.…………………………………………3

2.Входящий поток требований…………………………….………………….4

3. Время обслуживания………………………………………………………..5

4.Алгоритм обслуживания…………………………………………..……….6

5.Системы с ожиданием………………………………………………..…….6

6.Системы с отказами (потерями)……………………………………………7

7.Системы с ограниченной очередью………………………………………..7

8.Открытые и замкнутые системы………………………………..…………8

9.Символика Кендалла………………………………………………………..8

10.Вероятностные процессы в СМО……………………………….……….9

11.Формулы Литтла……………………………………………………..…..10

12.Марковские системы………………………………………………...……10

13.Система уравнений Колмогорова………………………………….……..11

14.Марковское свойство процесса Q(t) в системах /M/M/m/……………..12

В В Е Д Е Н И Е

Теория массового обслуживания (теория очередей) — раздел теории вероятностей, целью исследований которого является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящие из неё, длительности ожидания и длины очередей¹.

На математические исследования в этой области большое влияние оказала работа Кендалла. Он ввел классификацию систем обслуживания и задач теории очередей по входящему потоку, времени обслуживания и алгоритму обслуживания. Кендалл ввел символику типа /A/B/m/n/. Данная теория использует следующие термины: система обслуживания, время обслуживания, обслуживающие приборы, каналы обслуживания, требования, заявки, вызовы.

Основные понятия СМО: Требование (заявка) — запрос на обслуживание. Входящий поток требований — совокупность требований, поступающих в СМО. Время обслуживания — период времени, в течение которого обслуживается требование. Математическая модель СМО — это совокупность математических выражений, описывающих входящий поток требований, процесс обслуживания и их взаимосвязь.²

Всякую систему, в которой поток заявок встречает ограниченные возможности их немедленного удовлетворения, можно рассматривать как систему массового обслуживания (СМО) с действующим механизмом образования очереди. Заявки поступают в СМО и обслуживаются одним или более приборами. После обслуживания требования покидают систему, причем время, проведенное каждым требованием в СМО, складывается из времени ожидания и времени обслуживания. Время работы прибора состоит из чередующихся мрежду собой периодов занятости и периодов, свободных от заявок.

1.Структура и классификация смо.

Функционирование СМО определяют следующие четыре элемента:

1. Входящий поток требований, («случайная» часть СМО);

2. Время обслуживания каждого требования, («случайная» часть СМО);

3. Число обслуживающих устройств, («механизм обслуживания»);

4. Алгоритм обслуживания, («механизм обслуживания»).

2.Входящий поток требований

Обозначим:

t₁ – случайный момент прихода первой группы требований объемом n₁ ≥1;

t₂ – случайный момент прихода первой группы требований объемом n₂ ≥1 и т.д;

u_k = t_k – t_k-1 > 0, k = 1,2…., где t₀ = 0 – длительность промежутка времени между поступлением последовательных групп требований в систему.

k – управляющая случайной последовательностью.

u_k и n_k полностью определяются управляющей случайной последовательностью.

Требования в систему могут поступать по одному или группами. Если требования поступают по одному (n₁=n₁=….=1) , то поток требований называется ординарным.

Ординарным потоком требований, у которого промежутки времени u_k = t_k – t_k-1 > 0, k = 1,2,…, между соседними поступающими в систему требованиями являются независимыми и одинаково распределены случайными величинами, называются рекуррентным потоком.

ȗ_k = Eu_k – величина равная среднему промежутку времени между двумя соседними поступлениями:

ȗ_k = 1/λ,

где λ – интенсивность поступления требований в систему.

Простейший поток требований – это поток, у которого интервалы времени между поступлениями соседних требований независимы и имеют одинаковое показательное распределение с параметром λ.

3. Время обслуживания.

Обозначим:

v_к – случайное время, которое тратится на обслуживание заявки с номером k;

(v_k, 1 ≤ k < ∞) – управляющая последовательностью обслуживания;

v – среднее время обслуживания;

µ - интенсивность обслуживания (среднее число заявок, обслуживаемых за единицу времени одним прибором при его непрерывной работе);

В(t) = Р(v_к<t), k =1,2,…., - функция распределения времени обслуживания.

В большинстве случаев предполагают, что V_k не зависят между собой, имеют одинаковое распределение и не зависят от входного потока.

Для Ev_k = v введем специальное обозначение:

v = 1/µ.

Моменты времени v₁, v₂, v₃, v₁ + v₂ + v₃, образуют рекуррентный поток.

Показательное распределение играет огромную роль в теории стохастических (случайных) систем, если интервалы u_k и v_k имеют показательное распределение, то основные характеристики таких систем могут быть найдены по формулам (т.е. аналитически).

Обслуживающие устройства.

Обозначим:

m – количество каналов, на которых одновременно может вестись обслуживание.

В зависимости от числа устройств (каналов), на которых в СМО может одновременно вестись обслуживание, системы делятся на одноканальные и многоканальные.

Как правило, в теории массового обслуживания рассматривают системы с параллельно расположенными каналами обслуживания. Это означает, что каждое требование обслуживается в СМО только одним каналом обслуживания. В этом случае каждый канал действует как самостоятельное обслуживающее устройство. Чтобы задать механизм работы такой СМО, нужно лишь указать, в какой канал должны направляться вызовы, если свободными оказались несколько каналов.

СМО с последовательно расположенными каналами называют системами с многофазным обслуживанием. Каждое требовании, поступающее в такую СМО, должно быть последовательно обслужено каждым из m имеющихся в системе устройств.