13.17. Общая характеристика методов расчета и исследования магнитных полей

Методы расчета и исследования магнитных полей можно подразделить на три группы: аналитическую, графическую и экспериментальную.

Группа аналитических методов объединяет все чисто аналитического порядка приемы интегрирования уравнения Пуассона (для областей, занятых током), уравнения Лапласа (для областей, не занятых током), применение методов зеркальных и конформных отображений и др.

В силу трудностей математического характера классические аналитические методы позволяют решать относительно небольшой круг задач. В тех случаях, когда расчет поля аналитическими методами вызывает затруднения, прибегают к графическому методу построения картины поля или к исследованию магнитного поля на модели. Графические методы построения картины поля применимы к двухмерным безвихревым полям. За последние годы был развит метод интегральных уравнений, предполагающий использование ЭВМ и значительно расширяющий круг решаемых задач.

Пояснения к решению задач

Магнитное поле характеризуется векторной величиной В, называемой магнитной индукцией. Магнитная индукция В измеряется в В·с/м².

Интеграл вектора магнитной индукции по некоторой поверхности называется магнитным потоком через эту поверхность

. (1)

Магнитный поток измеряется в системе СИ в веберах (Вб).

Магнитное поле не имеет дивергенции, поскольку = 0. По теореме Гаусса

,

следовательно,

divB = B = 0.

Величина магнитной индукции в данной точке от тока в проводнике определяется интегралом

, (2)

причем интегрирование ведется по всему замкнутому контуру тока, состоящему из элементов Idl.

Из векторного анализа известно, что векторная величина, не имеющая дивергенции, сама является ротором другой векторной величины. Следовательно, вектор магнитной индукции В является ротором другого вектора А, получившего название векторного потенциала магнитного поля

B = rotA = [A]. (3)

Векторный потенциал А измеряется в В·с/м.

Значение векторного потенциала А выводится из (2). Поскольку векторное произведение .

Такое преобразование сделать можно, так как оператор является символом дифференцирования по координатам точки наблюдения, то есть по r, тогда как вектор Idl для  является величиной постоянной. Теперь

.

Так как интегрирование ведется по l и вектор для интеграла является постоянной величиной, можно сделать такую перестановку

. (4)

Сравнивая (3) и (4), можно написать

. (5)

Подставляя вместо элемента тока Idl = Sdl = dv, где —плотность тока, dv—элемент объема проводника, по­лучим

. (6)

По аналогии с электрическим полем, для которого справедливо уравнение Пуассона, , где для векторного потенциала А можно напиcать

²A = - (7)

или ²A = 0, если в рассматриваемом объеме отсутствует электрический ток.

Используя известное соотношение в векторном анализе, можно написать

²A = (A) – [[A] = - .

Из (6) видно, что поле вектора А, такое же как и поле вектора , поэтому по аналогии с последним div A = A = 0. Следовательно,

[[A]] = 

или

[B] =  [H] = 

и

[H] = , (8)

что принято называть первым уравнением Максвелла. Подставив в (1) значение В из (3), будем иметь

. (9)

Индуктивность L контура есть величина магнитного потока, сцепленного с данным контуром тока, приходящегося на единицу тока. Разделив (9) на I, получим

. (10)

Индуктивность L измеряется в Ом*с = Гн (генри).

Взаимная энергия W контура с током и постороннего магнитного поля равна IФ. Подставив значения Ф из (9), будем иметь значение взаимной энергии двух контуров с токами , где I₁ ток в контуре l₁. Деление подинтегрального выражения на I₁ с одновременным умножением интеграла на I₁ ничего не изменит, поскольку сила тока I₁ контура l₁ при интегрировании является величиной постоянной.

Величина , равная потоку контура l₁ при токе в 1 А, пронизывающему контур с током I, называется взаимной индуктивностью двух контуров с токами I и I₁.