2.Односторонние пределы, односторонняя непрерывность.

Определение. Число А называется правым (левым) пределом функции в точке , если для любого E>0 существует такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

.

Правый и левый пределы называют односторонними пределами.

Связь между односторонними пределами и пределом функции в точке устанавливает следующая теорема.

Теорема. Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы,. И они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам, т.е. .

Определение. Если , то функция называется непрерывной в точке справа (слева).

Если функция непрерывна и справа и слева, то она непрерывна в этой точке.

3.Точки разрыва функции и их классификация.

Определение. Точка называется точкой разрыва функции , если в точке не является непрерывной.

При этом получается, что функция определена в некоторой окрестности точки ; в самой же точке функция может быть как определена, так и не определена.

Различают точки разрыва первого рода и точки разрыва второго рода.

Определение. Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы: или .

Например. Для функции точка является точкой разрыва первого порядка, т.к. в этой точке односторонние пределы не равны между собой.

y

1

0 x

-1

.

График этой функции имеет конечный скачок равный 2.

Среди точек разрыва первого рода особо выделяют точки так называемого устранимого разрыва.

Определение. Точка называется точкой устранимого разрыва, если .

В точке устранимого разрыва функцию всегда можно доопределить так, чтобы она стала непрерывной в этой точке, положив .

Пример. Функция имеет в точке устранимый разрыв,

y

1

-π 0 π x

т.к. . Если положить , то функция

непрерывна при . Здесь условие

доопределяет функцию до непрерывности в точке .

''Доопределить'' функцию – значит построить новую, при этом на самом деле мы ''доопределяем'' не данную функцию, а свой способ, каким строим функцию.

Определение. Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке функция не имеет по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

П ример. Для функции точка является точкой разрыва второго рода, y

0 2

x

т.к.

.