Непрерывность функции.
1.Непрерывность функции в точке.
Свойства функций непрерывных в точке.
2.Односторонние пределы, односторонняя непрерывность.
3.Точки разрыва функции и их классификация.
4. Свойства функций непрерывных на отрезке.
Введение.
Наше представление о непрерывности функции обычно связано с изображением этой функции в виде графика, причём функцию мы считаем непрерывной, если её график представляет собой сплошную, непрерывную линию. Однако такое представление о непрерывной функции даёт только наглядный смысл понятия непрерывности; определением непрерывной функции это служить не может, так как здесь мы ссылаемся на другое, ещё не определённое понятие – понятие непрерывности линии
Для того чтобы изучить свойства непрерывных функций, необходимо иметь четкое определение непрерывности. Это определение должно быть, во-первых, математически строгим (т.е. опираться на ранее введённые понятия) и, во-вторых, согласовываться с тем наглядным, интуитивным представлением о непрерывной функции, которое дано нам практикой, опытом.
1.Непрерывность функции в точке. Свойства функций непрерывных в точке.
Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий математического анализа.
Определение1.
Функция
называется
непрерывной в точке
,
если предел функции и её значение в этой
точке равны, т.е.
(1)
Из
определения следует, что если функция
непрерывна в точке
,
то она определена в этой точке, т.е.
существует
.
Так как, то соотношение (1) можно записать
в виде
,
т.е. для непрерывной функции можно менять местами знак функции и знак предела.
Определение2.
(на языке последовательностей). Функция
называется непрерывной в точке
,
если для любой последовательности
значений аргумента
сходящейся
к
,
последовательность соответствующих
значений функции:
сходящейся к
.
Определение3.
(''на языке
'').
Функция
называется непрерывной в точке
,
если для любого E>0
существует
такое, что для всех x
удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
.
Эквивалентность этих определений очевидна.
Перенесем
в равенстве (1)
в левую часть и внесём
под знак предела. Так как условия
и
равносильны, то получаем
(2)
Разность
называется приращением
аргумента
x
в точке
и обозначается
,
а разность
- приращением
функции в
точке
и обозначается
.
Таким образом ,
,
.
У
f (x0+∆x) y=f(x)
∆y
f(x0)
∆x
0 x0 x0+∆x x
Равенство (2) в новых обозначениях примет вид
(3)
Соотношение (3) является ещё одним определением непрерывности функции в точке.
Определение4.Функция называется непрерывной если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Теорема1. Все основные элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.
Теорема2.
Пусть функции и
непрерывны Тогда функции
также непрерывны в точке
(последняя
при условии, что
).
Теорема3.
Если
и
функция
непрерывна
в точке
,
то
,
или
.
Теорема4.
Пусть функция
непрерывна
а функция
непрерывна в точке
.
Тогда сложенная функция
непрерывна в точке
.