4. Мощность множества. Счетные и несчетные множества.
Из всевозможных множеств выделим следующие два важных типа:
1º. Всякое множество, эквивалентное множеству всех натуральных чисел
1, 2, 3, ..., n, ..., будем называть счетным. Из определения счетного множества вытекает, что все элементы этого множества можно занумеровать. Если элементы множества занумеровать не представляется возможным, то оно носит название несчетного.
2°. Всякое множество, эквивалентное множеству всех вещественных чисел интервала (0, 1), будем называть множеством .мощности континуума.
Приведем примеры счетных множеств и множеств мощности контину-ума.
Первым примером счетного множества может служить рассмотренное выше множество четных положительных чисел 2, 4, 6, ..., 2n ... . Другим при-мером счетного множества может служить множество всех рациональных чисел сегмента [ 0,1], это множество можно расположить в последователь-ность без повторений, т.е. занумеровать. Примером множества мощности континуума может служить множество всех вещественных чисел (бесконечная прямая). В самом деле, функция у=сtg πх устанавливает взаим-но однозначное соответствие между течками интервала О < x < 1 и точками бесконечной прямой.
Множество мощности континуума не эквивалентно счетному множест-ву потому, что множество всех вещественных чисел интервала (0, 1) нельзя занумеровать.
5. Булева алгебра.
Решающий вклад в алгебраизацию логики сделал английский ученый Джордж Буль (1815-1864). В 1947 году вышла его работа с характерным названием - «математический анализ логики, являющийся опытом исчисления дедуктивного рассуждения». Применяя алгебру (в дальнейшем она стала называться булевой алгеброй) можно было закодировать высказывания, истинность и ложность которых требовалось доказать, а потом оперировать ими, как в математике оперируют числами. Буль ввел три основные операции: И, ИЛИ, НЕ, хотя алгебра допускает и другие операции
— логические действия. Эти действия бинарны по своей сути, т.е. они оперируют с двумя состояниями: «истина» - «ложь». Данное обстоятельство позволило в дальнейшем использовать булеву алгебру для описания переключательных схем. необходимо отметить, что окончательное оформление и завершение булева алгебра получила в работах последователей Дж. Буля: У.С. Джеванса и Дж. Венна (Англия), Э. Шредера (Германия),
П.С. Порецкого (Россия).
Как любая
алгебраическая система булева алгебра
базируется на совокупности некоторых
предположений, которые принято называть
аксиомами, т.е. предположениями не
требующими доказательств. Аксиомы
определяются для двух логических
значений: 1 (<ИСТИНА») и О («ЛОЖЬ») н
операций логического умножения
(конъюнкции), которая обозначается «&»,
« ^ », « · » или не обозначается вовсе,
логического сложения (дизъюнкции),
которая обозначается «V»,
«+» и отрицания (инверсии), которая
обозначается горизонтальной чертой
над переменной или выраже-нием, например,
.
Булевой переменной, обозначаемой обычно
х называется переменная принимающая
два логических значения {о,1}.