2. Операции с множествами.
Для рассуждений о множествах полезно привлечь наглядные схемы, впервые предложенные еще в ХVIII веке известным математиком Леонардом Эйлером. В ХIХ веке такие схемы успешно применял английский логик Джон Венн. Эйлер предложил наглядно изображать каждое множество в виде круга (размеры и положение круга не играют роли). Если А - часть множест-ва В, то круг, изображающий множество А, располагается внутри круга, изображающего множество В. Если какие-нибудь два множества имеют общие элементы (но не совпадают и одно не является частью другого), то соответствующие им круги Эйлера должны частично перекрываться..
Пусть, например, А и В - некоторые множества. Тогда их возможные взаимоотношения можно рассмотреть в виде таблиц:
№ |
Отношение
|
Условное обозначение |
Определение |
|
|
|
|
3. Отображение множеств. Эквивалентность множеств.
п.1. Отображение множеств.
Понятие отображения, также как и понятия множества, является неопределяемым, поэтому мы его поясняем.
Говорят, что задано отображение множества А в множество В, если каждому элементу множества А поставлен в соответствие, по определенному правилу, единственный элемент множества В. Иногда такие отображения называют полными отображениями в отличие от частичных отображений, которые допускают наличие в множестве А элементов, которым не ставится в соответствие никакой элемент множества В.
Отображения
обозначаются, как правило, малыми
греческими буквами, и если φ - отображение
множества А и В, то пишут: А
В,
или А
В.
Если при отображении
φ элементу
поставлен в соответствие элемент,
,
то пишут
,
при этом b
называют образом элемента а,
а элемент а
называют
прообразом элемента b
при отображении φ.
Множество А называют началом, а множество В концом отображения φ.
Если С
А, то множество образов всех элементов
а
С
обозначается С φ и называется образом
множества С при отображении φ. В частности,
А φ явля-ется образом множества А при
отображении φ, или множеством значений
отображения.
Пример 1.
Если А - множество
целых чисел и
,
то элементы 1 и -1 служат прообразами
элемента 1, а элемент -1 не имеет прообраза
и А φ - это подмножество всех неотрицательных
целых чисел.
Если А φ = В. то говорят, что φ есть отображение множества А на множество В (такое отображение называется сюръективным отображением или наложением).
Пример 2.
Если А - множество
целых чисел, В - множество четных целых
чисел, и φ: А—>В, где
.
Пример З.
А - множество натуральных чисел, В = { 1;2}, а отображение всем четным натуральным числам ставит в соответствие элемент 2, а всем нечетным - элемент 1.
Разумеется, каждый элемент из начала отображения имеет в точности один образ. Отображение множества А в множество В при котором каждый образ имеет только один прообраз называют вложением множества А в множество В (а также инъективным отображением), к таким отображениям относятся пример 2.
Отображение являющееся одновременно вложением и наложением называется взаимно однозначным (иначе биективным) отображением.
Примером биективного
отображения являются подстановки,
являющие-ся отображением множества {
1,2,...,п} на себя. Важным примером биек-тивного
отображения является тождественное
отображение множества А на себя,
определяемое условием
,
для всех х
А.
Это отображение будем обозначать через
Е.
п.2. Эквивалентность множеств
Два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда число элементов у этих множеств одинаковое.
Приведем пример двух эквивалентных бесконечных множеств. Легко видеть, что множество {х}, элементами которого служат четные положи-тельные числа 2, 4, 6, ..., 2n, ..., эквивалентно множеству (у}, элементами которого служат натуральные числа 1,2,3,..., n , ... В самом деле, мы установим взаимно однозначное соответствие между элементами этих множеств, поставив в соответствие элементу 2 n множества {А }элемент n и множества {у }. Обратим внимание на то, что рассмотренное нами множест-во {х} является подмyожеством множества (у}. Таким образом, бесконечное
множество{ у } оказывается эквивалентным своему подмножеству {х }.