Тема 2. Основные понятия теории множеств

1. Понятие множества.

2. Операции с множествами.

3. Отображение множеств. Эквивалентность множеств.

4. Мощность множества. Счетные и несчетные множества.

5. Булева алгебра.

Введение.

Множество - одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех её разделах.

По словам одного из создателей теории множеств – немецкого математика Георга Кантора (1845-1918), «множество есть многое, мыслимое нами как единое». Разумеется эти слова не могут рассматриваться как математически строгое определение множества, такого определения не существует, поскольку понятие множества является исходным, на основе которого строятся основные понятия математики. Но из этих слов ясно, что можно говорить о множестве натуральных чисел, множестве треугольников на плоскости и т.д.

Теория множеств позволяет создать модель любого известного раздела математики и, таким образом, теория множеств объединяет эти разделы в единую систему.

1. Понятие множества.

Одно из самых важных, самых распространенных и широко употребляемых понятий современной математики – это понятие множества. «Идеи и понятия теории множеств – пишет известный советский математик академик П.С. Александров, - проникли буквально во все разделы современной математики и существенно изменили ее лицо. Поэтому нельзя получить правильного представ-ления о современной математике, не познакомившись с элементами теории множеств».

Понятие множества является одним из основных. Универсальность этого понятия в том, что под него можно подвести любую совокупность явлений, предметов и объектов реального мира. Сами множества так же могут объединять-ся во множества. Например, математики говорят о множестве фигур на плоскос-ти, о множестве тел в пространстве, но каждую фигуру, каждое тело они мыслят как множество точек.

В 70-х годах прошлого века немецкий математик Георг Кантор, исследуя тригонометрические ряды и числовые последовательности, встал перед необходи-мостью сравнить между собой бесконечные совокупности чисел. Для решения возникших проблем Кантор и выдвинул понятие множества.

Плодотворность теоретико-множественной концепции в том, что она породила весьма богатый и мощный арсенал широких понятий и универсальных методов.

Суть понятия «множество» вполне передается словами: «совокупность», «собрание», «набор» и т.д. Однако, как абстрактное математическое понятие множество неопределимо. Но определить какое-либо конкретное множество – задача не из трудных.

Определить любое конкретное множество – значит определить какие предметы (явления, объекты) принадлежат данному множеству, а какие не

принадлежат. Иначе говоря, всякое множество однозначно определяется своими элементами.

Обычно обозначают множества прописными (большими) буквами: А, В, С и т. п., а элементы множества чаще всего обозначают строчными (малы-

ми) буквами: а, b, х , у,…

Для обозначения принадлежности элемента некоторому множеству используется знак . А для обозначения не принадлежности используется знак .

Например: 1. Яблоки ФРУКТЫ, где ФРУКТЫ ={ груши, апельсины, яблоки, виноград}

2. 5 А = {1,2,3,4,5,б,7}

3. п N (читается: п принадлежит множеству натуральных чисел N).

Обозначения некоторых числовых множеств:

N - множество натуральных чисел.

Z - множество целых чисел.

Q - множество рациональных чисел.

R - множество действительных чисел.

Принято также вводить понятие пустого множества, т.е. множества, на содержащего ни одного элемента. Обозначение пустого множества Ø. Например, множество всех трехлетних мальчиков, обучающихся на 1 курсе,

пустое множество. Множество всех целых корней уравнения я2+ 1 = О тоже пустое.

Может случиться, что каждый элемент одного множества А является также элементом другого множества В. Тогда говорят, что множество А - «часть», или «подмножество», множества В, и пишут: А В (читается так:

А принадлежит В) или В : А («В содержит А»)..

Знаки « » и « » называются «знаками включения». Запись А В означает: «А не часть множества В».

Два множества А и В считаются равными, если они содержат одни и те же элементы (т. е. если каждый элемент одного из них является элементом другого, и наоборот). По .этой причине два множества { 1, 3, 5, 7 } и

{5,З,7,7, 1} равны.

Множество будем называть конечным или бесконечным в зависимости от того, является ли число элементов, входящих в состав этого множества, конечным или бесконечным.

Множества, элементами которых являются числа, называются число-выми. В дальнейшем нам часто придется иметь дело с различными мно-жествами вещественных чисел. Будем обозначать произвольное множество вещественных чисел символом {х}, а числа, входящие в состав этого множества, будем называть элементами или точками этого множества. Мы будем говорить, что точка х₁ множества {х} отлична от точки х₂ этого множества, если вещественные числа х₁ и х₂ не равны друг другу. Если при этом справедливо неравенство х₁ > х₂ (х₁ < х₂) то будем говорить, что точка х₁ лежит правее (левее) точки х₂.

Рассмотрим некоторые наиболее употребительные множества вещественных чисел.

1º. Множество вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам , где а < b, будем называть сегментом (отрезком) и обозначать символом [ а,,b ]. При этом числа а и б будем называть граничными точками или концами сегмента [а,b], а любое число х, удовлетворяющее неравенствам а < x < б, будем называть внутренней точкой сегмента [а,b].

2°. Множество всех вещественных чисел х, удовлетворяюших неравенствам

{или }, будем называть полусегментом и обозначать символом [а,,b) или (а,,b].

3º. Множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам

а < x < b, будем называть интервалом (открытым отрезком) и обозначать символом (а,b ).

4°. Любой интервал, содержащий точку с, будем называть окрестностью точки с.

5° Интервал (с-ε, с + ε), где ε > О, будем называть .-окрестностью точки с.

6°. Множество всех вещественных чисел будем называть числовой

(бесконечной) прямой и обозначать символом (-∞; +∞).

7°. Множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенству

х или х будем называть полупрямой и обозначать символом [ )

( ].

8°. Множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенству х > a или х < b будем называть открытой полупрямой (лучом) и обозначать символом (а, ∞) или ( ).