Расписанные билеты по ОДУ / Вопросы билетов

Вопросы по курсу «Обыкновенные дифференциальные уравнения»  4 семестр, факультет К, весна 2013 г. #1. Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ). Порядок ОДУ. Решение ОДУ. Постановка задачи Коши для ОДУ первого порядка разрешённых и неразрешённых относительно производной, для нормальных систем ОДУ первого порядка, для ОДУ n-го порядка, разрешённых относительно старшей производной.  Геометрическая интерпретация задачи Коши, интегральная кривая. Формулировка ТСЕ, особые точки и особые решения уравнения первого порядка, пример нарушения единственности решения задачи Коши #2. ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными. #3. ОДУ первого порядка с однородной правой частью #4. Однородное и неоднородное линейное ОДУ первого порядка.  Решение неоднородного линейного ОДУ первого порядка методом вариации постоянной, методом Бернулли и методом интегрирующего множителя. #5. Структура решения линейного неоднородного ОДУ. Принцип суперпозиции для неоднородного ОДУ первого порядка #6. Уравнение в полных дифференциалах. Критерий того, что ОДУ – уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. #7. Уравнение Бернулли, два метода его решения. Уравнение Риккати, нахождение его общего решения по известному частному решению.  Свойства решений и уравнения Риккати #8. Автономные уравнения. Метод изоклин, пример применения его для анализа поведения решений логистического уравнения #9. Простейшие ОДУ, не разрешённые относительно производной. Постановка задачи Коши для ОДУ первого порядка, неразрешённые относительно производной.  Метод введения параметра для решения ОДУ, не разрешённых относительно производной. (БККТ стр.67-70, 77-79; П стр.98-11...)  #10. Уравнения Лагранжа и Клеро. Особое решение. Огибающая семейства кривых. Примеры не единственности решения задачи Коши.(...БККТ стр.79-84; П стр.98-11)  #11. Особые решения ОДУ, p- и С- дискриминантные кривые. Точки: заострения (возврата), прикосновения и узловые точки решения ОДУ.(...БККТ стр.70-76)  #12. ОДУ высших порядков. Простейшие случаи, допускающие понижение порядка уравнения(...)  #13. Линейное ОДУ n-ого порядка. Задача Коши. Эквивалентность линейного ОДУ n-ого порядка линейной системе ОДУ в нормальной форме. Линейная зависимость и независимость систем функций. Матрица Грама.  Критерий линейной зависимости системы функций. Дифференциальный оператор n-го порядка. #14. Определитель Вронского системы функций. Свойства определителя Вронского системы функций и системы решений линейного ОДУ n-го порядка.(...БККТ стр.131-134)  #15. Линейное пространство решений однородного линейного ОДУ n-ого порядка, его размерность.  ФСР линейного однородного ОДУ n-ого порядка.  Теоремы о существовании ФСР и структуре общего решения однородного линейного ОДУ n-ого порядка(...БККТ стр.131-139)  #16.Формула Остроградского-Лиувилля для ОДУ n-ого порядка и для системы линейных уравнений(...БККТ стр.92-94, 134-135)  #17.Понижение порядка ОДУ. Применить для уравнения 2-го порядка. Восстановление уравнения по известной ФСР.(...)  #18.Структура общего решения линейного неоднородного ОДУ n-ого порядка.  Метод вариации постоянных для поиска частных решений линейного неоднородного ОДУ n-ого порядка.  Принцип суперпозиции для неоднородного линейного ОДУ n-ого порядка.(БККТ стр.139-142...)  #19.Линейные однородные ОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера нахождение решений. Характеристический многочлен.  Случай действительных и комплексных корней характеристического многочлена различной кратности. Запись уравнения через операторный многочлен. (БККТ стр.142-150...)  #20. Леммы (7.2 и 7.3 из БККТ) о дифференцировании произведения функции на экспоненту. (БККТ стр.144-147)  Теорема о частных решениях линейного ОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами. (БККТ стр.142-146...)  #21.Теорема о ФСР для линейного однородного ОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами.(БККТ стр.147-150...)  #21.Построение действительной ФСР для однородного ОДУ n-ого порядка с постоянными действительными коэффициентами.(БККТ стр.147-150...)  #23.Линейные неоднородные ОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Нахождение частного решения неоднородного ОДУ n-ого порядка с правой частью в виде квазимногочлена в нерезонансном и в резонансном случаях.(БККТ стр.150-151...)  #24 Вектор-функции и действия с ними. Линейное пространство вектор-функций.  Норма вектор-функции. Система ОДУ первого порядка в нормальной форме. Задача Коши. Геометрическая интерпретация решения задачи Коши для система ОДУ первого порядка.(БККТ стр.85-86...)  #25. Линейное пространство решений линейной однородной системы ОДУ в нормальной форме и его размерность.(БККТ стр.87-91...)  #26. ФСР линейной однородной системы ОДУ, теорема о существовании ФСР. Общее решение.  Структура общего решения однородной линейной системы(БККТ стр.87-91...)  #27. Определитель Вронского системы вектор-функций и решений системы ОДУ и его свойства.(БККТ стр.91-95...)  #28. Общее решение неоднородной системы линейных ОДУ, структуре общего решения. Принцип суперпозиции.(...)  #29. Фундаментальная матрица и её свойства.  Запись решения однородной и неоднородной систему через фундаментальную матрицу. (БККТ стр.58-63; 111-125; МЛГП стр.30....)  #30. Метод вариации постоянных для поиска частного решения линейной неоднородной системы ОДУ.(БККТ стр.116-125...)  #31. Линейные однородной системы ОДУ с постоянными коэффициентами. Матричная экспонента, её свойства и решение системы ОДУ.(БККТ стр.111-116, МЛГП стр.30-31...)  Метод Эйлера нахождение решений. Характеристический многочлен.Выделение действительных решений линейной однородной системы ОДУ с постоянными действительными коэффициентами.(БККТ стр.86, 96-100; П стр.35-37...)  32. Построение ФСР для системы ДУ с постоянной матрицей коэффициентов.  Лемма о независимых решениях для одного собственного значения (с использованием жордановых цепочек). Теорема о построении ФСР в случае постоянной матрицы в общем случае.(...)  #33. Лемма Гронуолла-Беллмана. (БККТ стр.17-20, МЛГП стр.6-7...)  #34. Лемма о связи ОДУ и интегрального уравнения. Метод последовательных приближений.(БККТ стр.23-24, МЛГП стр.3-4...)  #35. Условие Липшица. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для линейной нормальной системы ОДУ первого порядка.(МЛГП стр.3-7)(БККТ стр.43-54...)  #36. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для линейного ОДУ первого порядка,  разрешенного относительно производной. Пример не единственности решения задачи Коши. #37. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для линейного ОДУ n-ого порядка.(БККТ стр.126-127...)  #38. Теорема существования и единственности решения ОДУ I порядка, не разрешённого относительно производной.(БККТ стр.67-70...)  #39. Автономные (динамические) системы. Устойчивость и асимптотическая устойчивость решений.  Фазовое пространство и фазовые траектории. Теорема о связи устойчивости произвольного решения и тривиального решения (БККТ стр.162-168; МЛГП стр.13-15; П стр.200-228...)  #41. Устойчивость решений линейной системы ОДУ(БККТ стр.168-171; МЛГП стр.18-20...)  #42. Исследование устойчивости по первому приближению (БККТ стр.182-186; МЛГП стр.24-25...)  #43. Исследование поведения фазовых траекторий на плоскости вблизи точки покоя,  классификация точек покоя (изолированных особых точек) #44. Предельный цикл, условия существования предельного цикла, критерий отсутствия предельного цикла