32. Внутренние и внешние устойчивые множества вершин Внутренне устойчивое множество вершин графа

Определение: Подмножество S вершин графа G = (V,E) называется внутренне устойчивым, если какие-либо две вершины из S не смежны в G (не есть соседние в G). Число внутренней устойчивости графа G α(G) = max {|S|:S⊆V и S внутренне устойчиво в G}.

Определение: Внутренне устойчивое множество вершин S называется максимальным (тупиковым), если всякое собственное надмножество множества S внутренне устойчивым уже не является. Внутренне устойчивое множество S называется наибольшим, если среди всех внутренне-устойчивых множеств вершин в G оно имеет наибольшую мощность.

Алгоритм вычисления всех наибольших внутренне устойчивых множеств вершин графа G = (V,E) 1) Построить функцию F = &_(u,v)∈E(x_u ∨ x_v) – условие внутренней устойчивости вершин графа G. 2) Раскрыв скобки в F и проведя поглощение, получить минимальную ДНФ D для F. 3) Для каждого дизъюнктивного слагаемого K = x_u, x_v,…,x_w в D получить ему соответствующее максимальное внутренне устойчивое множество вершин S = V – {u, v,…,w} 4) Из полученных максимальных внутренне устойчивых множеств вершин выбрать все наибольшие по мощности.

33. Теоремы эйлера о графах

Связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четны.

34. Операции на графах объединение и пересечение

Объединение графов G₁ и G₂ , обозначаемое как  , представляет такой граф  , что множество его вершин является объединением Х₁ и Х₂ , а множество ребер – объединением A₁ и A₂ . Граф G₃ , полученный операцией объединения графов G₁ и G₂ , показан на рис. 2.1,д, а его матрица смежности – на рис. 2.1,е. Матрица смежности результирующего графа получается операцией поэлементного логического сложения матриц смежности исходных графов G₁ и G₂ .

Рис. 2.1. 

Пересечение графов G₁ и G₂ , обозначаемое как  , представляет собой граф . Таким образом, множество вершин графа G₄ состоит из вершин, присутствующих одновременно в G₁ и G₂ . Операция пересечения графов   показана на рис. 2.2,в, а результирующая матрица смежности получается операцией поэлементного логического умножения матриц смежности исходных графов G₁ и G₂ . показана на рис. 2.2.г.

Рис. 2.2. 

35. Связные графы. Основные понятия и определения. Компонента связности.

Компонента связности графа — некоторое множество вершин графа такое, что для любых двух вершин из этого множества существует путь из одной в другую, и не существует пути из вершины этого множества в вершину не из этого множества

Связный граф — граф, содержащий ровно одну компоненту связности. Это означает, что между любой парой вершинэтого графа существует как минимум один путь.

Здесь приведены некоторые критериальные (эквивалентные) определения связного графа: Граф называется односвязным (связным), если:

1. У него одна компонента связности

2. Существует путь из любой вершины в любую другую вершину

3. Существует путь из заданной вершины в любую другую вершину

4. Содержит связный подграф, включающий все вершины исходного графа

5. Содержит в качестве подграфа дерево, включающее все вершины исходного графа (такое дерево называетсяостовным)

6. При произвольном делении его вершин на 2 группы всегда существует хотя бы 1 ребро, соединяющее пару вершин из разных групп