13. Вхождение функции в функцию. Импликанты. Простые импликанты. Способ получения простых импликант.

Понятием "минимизация переключательных функций" объединяется ряд процедур, выполнение которых направлено на получение наиболее компактной, минимальной в некотором смысле формы представления переключательной функции. Как правило, в качестве критерия минимальности переключательной функции используется число букв в логическом выражении. Действительно, любые две рядом стоящие буквы связаны между собой знаком какой-либо логической операции. Поэтому, чем меньше букв в логическом выражении, тем меньше логических операций необходимо для реализации этого выражения, тем меньше логических элементов требуется для построения соответствующей комбинационной схемы. Это ведет к минимуму веса устройства, минимуму стоимости и т.д.

Как правило, все алгоритмы минимизации начинаются с приведения переключательной функции к канонической форме, в качестве которой используются совершенные дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы. Основные этапы минимизации приведены на рис. 2.1.

Смысл минимизации переключательных функций заключается в поиске совокупности таких элементарных конъюнкций (дизъюнкций), которые своими единицами (нулями) накрывали бы как можно большее число единиц (нулей) среди значений заданной переключательной функции.

Понятие вхождения одной переключательной функции в другую является весьма существенным, поскольку именно оно во многом определяет "механизм" минимизации переключательных функций.

Будем говорить, что переключательная функция j(х₁, х₂, …, х_n) входит в переключательную функцию f(х₁, х₂, …, х_n), если функция j накрывает своими нулями все нули функции f, а единицы функции f накрываются как нулями, так и единицами функции j; т.е. функция j должна иметь нулевых значений не меньше, чем функция f, и, кроме того, нули функции j должны быть определенным образом расположены.

Определение 2.1. Функция j(х₁, х₂, …, х_n), входящая в функцию f(х₁, х₂, …, х_n) называется импликантой этой функции.

Определение 2.2. Функция j(х₁, х₂, …, х_n) называется простой им­пли­кантой функции f(х₁, х₂, …, х_n), если сама функция j входит в функ­цию f, но никакая собственная часть функции j в f не входит. Простые импликанты представляют собой самые короткие элементарные произведения, входящие в данную переключательную функцию. Очевидно, что если какое-либо элементарное произведение входит в данную переключательную функцию, то при добавлении к нему любых сомножителей новое произведение также всегда будет входить в эту функцию, т.к. оно обращается в нуль вместе с исходным произведением.

14. теорема квайна-Мак-класски

"Метод представляет собой формализованный на этапе нахождения простых импликант метод Квайна. Формализация производится следующим образом:

1. Все конституанты единицы из СДНФ булевой функции f записываются их двоичными номерами.

2. Все номера разбиваются на непересекающиеся группы. Признак образования i-й группы: i единиц в каждом двоичном номере конституенты единицы.

3. Склеивание производят только между номерами соседних групп. Склеиваемые номера отмечаются каким-либо знаком (зачеркиванием).

4. Склеивания производят всевозможные, как и в методе Квайна. Неотмеченные после склеивания номера являются простыми импликантами.

Нахождение минимальных ДНФ далее производится по импликантной матрице, как и в методе Квайна. Более подробно рассмотрим метод на примере решения следующей задачи: минимизировать методом Квайна - Мак-Класки булеву функцию f, заданную таблицей истинности 4.2.1.

Таблица 4.2.1
x4x3x2x1	f
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111	0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1

• В СДНФ функции f заменим все конституенты единицы их двоичными номерами:

f = 0001 v 0011 v 0101 v 0111 v 1110 v 1111.

• Образуем группы двоичных номеров. Признаком образования i - й группы является i единиц в двоичном номере конституенты единицы (табл. 4.2.2).

Таблица 4.2.1
Номер группы	Двоичные номера конституент единицы
0	—
1	0001
2	0011, 0101
3	0111, 1110
4	1111

• Склеим номера из соседних групп табл. 4.2.1. Склеиваемые номера вычеркнем (Прим. - выделяем цветом). Результаты склеивания занесем в табл. 4.2.2. Склеим номера из соседних групп табл. 4.2.2. Склеиваться могут только номера, имеющие звездочки в одинаковых позициях. Склеиваемые номера вычеркнем. Результаты склеивания занесем в табл. 4.2.3.

Таблица 4.2.2
Номер группы	Двоичные номера конституент единицы
1	00*1, 0*01
2	0*11, 01*1
3	*111, 111*

Таблица 4.2.3
Номер группы	Двоичные номера конституент единицы
1	0**1

• Имеем три простые импликанты: *111, 111*, 0**1.

• Строим импликантную матрицу (табл. 4.2.4). По таблице определяем совокупность простых импликант - 0**I и 111*, соответствующую минимальной ДНФ. Для восстановления буквенного вида простой импликанты достаточно выписать произведения тех переменных, которые соответствуют сохранившимся двоичным цифрам.

Таблица 4.1.2
Простые импликанты	Конституенты единицы
	0001	0011	0101	0111	1110	1111
0**1	X	X	X	X
*111				X		X
111*					Х	Х

0**1 —> /x₁x₄; 111* —> x₁x₂x₃.

Заметим, что разбиение конституент на группы позволяет уменьшить число попарных сравнений при склеивании."