8. Функции Шеффера и Пирса.

Штрих Ше́ффера — бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными. Введена в рассмотрениеГенри Шеффером в 1913 г. (в отдельных источниках именуется как Пунктир Чулкова)

Штрих Шеффера, обычно обозначаемый |, задаётся следующей таблицей истинности:

X	Y	X|Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Таким образом, высказывание X | Y означает, что X и Y несовместны, т.е. не являются истинными одновременно. От перемены мест операндов результат операции не изменяется.

Стре́лка Пи́рса — бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными. Введена в рассмотрениеЧарльзом Пирсом (Сharles Peirce) в 1880—1881 г.г.

Стрелка Пирса, обычно обозначаемая ↓, задаётся следующей таблицей истинности:

X	Y	X ↓ Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Таким образом, высказывание «X ↓ Y» означает «ни X, ни Y». От перемены мест операндов результат операции не изменяется.

Стрелка Пирса, как и Штрих Шеффера, образует базис для пространства булевых функций от двух переменных. Это означает, что, используя только стрелку Пирса, можно построить все остальные логические операции, например:

9 Минимизация переключательных функций. Метод импликантных матриц.

Метод импликантных матриц

Этот метод позволяет достаточно просто осуществлять переход от сокращенной формы переключательной функции к тупиковым и минимальным формам. Рассмотрим пример. Требуется найти минимальные дизъюнктивные нормальные формы переключательной функции, совершенная форма которой определяется выражением

.

Построим для этой функции импликантную матрицу, представляющую собой таблицу, в вертикальные и горизонтальные входы которой записываются все конституенты единицы и все простые импликанты заданной функции соответственно (табл. 3.8).

Таблица 2.3.1.

Импликантная матрица

Простые импли-канты	Конституенты единицы
	X	X
		X	X
			X	X
				X	X
					X	X

Для каждой импликанты найдем конституенты еди­ницы, которые ею поглощаются, т. е. те конституенты, собственной частью которых является данная импликанта. Например, импликанта  поглощает конституен­ты  и , импликанта  — конституенты  и  и т. д. Клетки импликантной матрицы, образованные пересечением строк с импликантами и колонок с поглощаемыми ими конституентами, отметим какими-либо символами..

Чтобы получить минимальную дизъюнктивную нормальную форму заданной функции, достаточно найти минимальное число импликант, которые совместно накрывают крестиками все колонки импликантной матрицы.

Из табл. 2.3.1 следует, что в минимальную форму обя­зательно должны войти импликанты  и , так как только они накрывают крестиками первую и шестую колонки импликантной матрицы.

Кроме того, имлликанта  накрывает вторую, а импликанта  — пятую колонки. Поэтому остается накрыть только третью и четвертую колонки. Для этого можно выбрать пары импликант:  и ;  и или одну импликанту . Если выбрать указанные выше пары импликант, то импликанты  и  оказываются лишними, так как импликанта  одна накрывает третью и четвертую колонки таблицы. Таким образом, выбрав импликанту , получим ми­нимальную дизъюнк­тивную нормальную форму задан­ной функции.

,

которая совпадает с первой тупиковой формой. Если дополнительно к  и  выбрать импликанты  и , то лишних импликант не оказывает­ся, а полученное выражение

,

является второй тупиковой формой заданной функ­ции.

10. метод испытания импликант

Одним из методов отыскания лишних импликант является метод испытания членов: чтобы испытать некоторый член функции, следует исключить его из Сокр ДНФ и подставить в оставшееся выражение такие значения аргументов, которые обращают исключенный член в единицу. Если при такой подстановке оставшееся выражение окажется тождественно равным единице, то испытуемый член является лишним.