1. Переключательные функции. Способы задания, основные свойства

 Переключательной функцией называется такая функция от нескольких аргументов, все аргументы которой являются высказываниями, и значение которой также является высказыванием.     (Иначе говоря, это логическая функция от логических аргументов)

   Переключательная функция однозначно задаётся своей таблицей истинности либо аналитический способ

2. Переключательные функции одного и двух аргументов

Существует четыре переключательные функции одного аргумента, которые приведены в табл. 1.  Таблица 1  Переключательные функции одного аргумента 

Переключательные функции двух аргументов

3. Основные законы алгебры логики основные законы алгебры логики

Закон	Для   ИЛИ	Для   И
Переместительный
Сочетательный
Распределительный
Правила де Моргана
Идемпотенции
Поглощения
Склеивания
Операция переменной с ее инверсией
Операция с константами
Двойного отрицания

4. Следствия из основных законов алгебры логики

?

5. Теорема о функциональной полноте (у меня есть 2)

Теорема 1. (Пост).  Для того, чтобы система функций S была полной в слабом смысле необходимо и достаточно, чтобы она содержала хотя бы одну нелинейную функцию и хотя бы одну немонотонную функцию.

Теорема 2. (Пост). Для того, чтобы система функций была полной (в сильном смысле) необходимо и достаточно, чтобы она не содержалась целиком ни в одном из замкнутых классов K0, K1, KS, KM  и  KL.

6. Основная функционально полная система логических связей

 Основная функционально полная система логических функций. Наибольшее распространение получил набор, в состав которого входят три логические функции:  ·                   f₁₀ –  инверсия (логическая связь НЕ, логическое отрицание);  ·                   f₁ – конъюнкция (логическая связь И, логическое умножение),  ·                   f₇ –  дизъюнкция (логическая связь ИЛИ, логическое сложение).  Этот набор получил название функционально полной системы логических функций (ОФПС). Из теоремы о функциональной полноте следует, что основная функционально полная система логических функций является избыточной, так как условиям теоремы отвечают наборы функций f₁₀и f₁ или f₁₀ и f₇.  Свойства этих функций были рассмотрены ранее. 

7. Теорема жегалкина. Алгебра жегалкина

Полином Жегалкина — многочлен над кольцом  , то есть полином с коэффициентами вида 0 и 1, где в качестве произведения берётся конъюнкция, а в качестве сложения — исключающее или. Полином был предложен в 1927 годуИваном Жегалкиным в качестве удобного средства для представления функций булевой логики. В зарубежной литературе представление в виде полинома Жегалкина обычно называется алгебраической нормальной формой (АНФ).

Теорема Жегалкина — утверждение о существовании и единственности представления всякой булевой функции в виде полинома Жегалкина.

  Определение. Алгеброй Жегалкина называется алгебра над множеством логических функций и переменных, сигнатура которой содержит две бинарные операции   &   и    , и две нульарные операции – константы 0 и 1.

            В алгебре Жегалкина выполняются следующие соотношения:

1.   x   y = y   x;

2.   x ( y   z )  =  x y   x z;

3.   x   x = 0; 

                                                                                                          (1.4)

4.   x     = 1; 

5.   x   0 = x.

            Эти соотношения легко проверить табличным способом. Кроме перечисленных соотношений в алгебре Жегалкина выполняются соотношения булевой алгебры относительно конъюнкции и констант

.

            Найдем выражения для основных элементарных функций алгебры логики в алгебре Жегалкина.

1.         =  x   1. 

Это соотношение проверяется непосредственной подстановкой 0 и 1 в обе части равенства.