1. Априорные процедуры

пусть имеется задача(6). сведение многокр-ой задачи к однокр-ой –это наиболее употребительный способ преодоления неопределенности цели,т.е. решение задач многокритер. оптимизации.

причем правило свертывания м.б. выработаны по-разному и неизвестно какое из них следует предпочесть.

вибирая правила свертывания без достаточ. оснований (их протсо нет) вводят задачу принятия решений такой произвол., кот. обеспечивает всю дальнейшую работу.

н-р: для примера (5) можно выбрать допустим

f( ) - F( ) – это прибыль или

f( )/F( ) относит. прибыль и т.д.

и какой из них истинный - неизвестно. причем в каждом случае получится свое решение.

было много критериев, остался один. куда делись остальные? или мы учитываем их в ограничениях или же они учитываются в обобщенном критерии.

1. Линейная свертка

для задачи (6) в этом случае вводится критерий:

max Ф( ) = ( ) (7) где – положит. числа, причем = 1

результат экспертизы. они отображают предпочтение исследователя, о содержании компромисса, кот. он принимает.

получается ранжирование критериев и как будто явл. весовыми критериями.

недостаток метода: если критерии имеют разный порядок, то обобщенный не будет их всех учитывать.

2. Принцип справедливого компромисса

критерий берется след. образом. имеет разный порядок

) = (8)

3. Выделение глав. Критерия

max ( ) , i= (9.1)

( ) * , i= (9.2)

* - некоторые контрольные показатели (числа) если их нет, их можно ввести самим.

согласно дан. подходу выделяется один глав. критерий

max ( ) (10.1)

( ) *, i= (10.2)

данная задача решается методом ЗЛП, если дан. задача разрешима, то ее решение принимается в качестве решения исход. задачи (9) или на основе анализа полученного решения устанавлив-ся новые контрольные показатели * (мы их усиливаем) и снова задачу решаем.

2ой случай: задача (10) не имеет решения. в этом случае берем нов. контр. показатели:

* кот. меньше старых

приходится уступить и снова решаем.

4. Принцип гарантированного результата

Пусть имеется задача (9) для нее нет сначала выбирается ф-ция Ф( )

Ф( )= min (11.1)

max Ф( ) (11.2)

для нахождения в-та добавляем max, гарантируем себя от плохих вариантов.

Принцип парето.

Построение множества оптимальных решений по парето (принцип - п.п.) при решени многокрит. задач мы пытаемся их свести к однокрит. т.к. для них существует хор. разработанные методы матем. програм-я. но к решению многокрит задач можно подойти и с др. позиций: попытаться сократить мн-во исходных в-тов исключения из неформального в-та, те решения, которые заведомо явл-ся плохими. пусть имеется задача многокрит оптимизации(6) . здесь каждому значению м ы ставим в соотвествие некотор. критерий –множество критериев

→ {

множество альтернатив

эффективной (наилучшей) называется т. допустимого множества, в котором значение хотя бы одного критерия будет лучше по срав. со значением критериев в любых др. точках. множество критериев в т.

само множ-во всех эффектив. точек наз-ся областью решений оптимальныхпо парето (множество парето).

оптимальность по парето означает что нельзя дальше улучшить значение одного из частных критериев, не ухудшая при этом значение хотя бы одного из остальных( достигли предельного состояния).

в теории принятия решений сущ-ет термин п.п., закл. в том, что выбирать в качестве решения следует только тот вектор кот. принадлежит множеству парето. п.п. не выделяет единственного решения, он только сужает кол-во альтернатив за счет отсеивания плохих решений, окончат выбор остается за ЛПР .

т.о. определение оптимального компромисс. решения позволяет разделить поиск нахождения решения задача многокритриальных оптимизации на 2 этапа:

1) построение множества множества парето, т.е. нехождение эф-х точек

2)выбор i-ого множества решения и точки наиболее предпочтительной точки с точки зр. ЛПР

множество парето имеет весьма сложную природу. но его анализ дает дальнейш. информацию для ЛПР. т.е. эф-ых точек очень много надо выбрать одну.

обычно выдвигаются разные предпочтения в завис. от своих интересов.

н-р: в его распоряжении может оказаться некот. общий критерий: F(x) – пусть это суммар. сто-ть проекта, тогда

max (min) F(x)но уже x P_Gx( f1,f2,...fk)

где P_Gx( f1,f2,...fk) – это множество парето для ф-ции f(x) на множестве допустимых векторов Gx

как построить множество парето?

max Ф(x, λ) = (x) → x* (13)

= 1, >0

не всегда можно построить множество парето, можно только когда множество Gx – многогранник, а ф-ции fi есть лин. ф-ция.

если множество парето явля. выпуклым, то увеличивая кол-во точек любой степенью точности можно построить многогранник, аппроксимирующий искомое множество парето.

Понятие выпуклого прогр-я, геом. прогр-я, сепарабильного прогр-я

для решения задач инженерного характера, когда ц.ф. и ограничени япредставлены в в иде положит. полиномов:

(x) = (

min (x)

(x)<=1 , k=

aj – веществен. число

cj>0 положит. Число

метод сепарабильного прогр-я

ф-ция f( ) явл. пепарабильной, если ее можно представить в виде:

f( ) =

если ц.ф. ограничена сепарабильно, то эта задача сепарабильного программирования.

>=

метод выпуклого программирования

функция f( ) наз-ся выпуклой в некоторой области, если для любых 2 точек и этой области вып-ся условие:

f(θ + (1-θ ) θ f( )+ (1-θ) f( )

0≤θ≤1 - сепарабильная величина

в общем случае выпуклость опр-ся след образом:

1 – выпукл

2-вогнут

множество точек наз-ся выпуклым, если отрезок линии, соединяющий 2 произвольные точки множества, целиком лежит в этом множестве.

max (min) f( ) (1)

, j= (2)

– выпукл. ф-ция, f( ) - вып. или вогнут. ф-ция

тогда задача 1,2 наз-ся задачей выпукл. програм-я

локальный экстремум ЗЛП явл. глобальн. экстремум, т.е. если вы нашли локальн. экстремум, то не надо дальше искать.

Решение ЗЛП. Симплек метод реш ЗЛП

Ограничения ЗЛП образуют некоторую общую часть N- мерного пространства, кот наз-ся многогранником решений. Если линейн ф-ция f(x) достиг своей мин значения, то она достигается в угловой точки многогранника решений.

Любое решение , - наз-ся допуст решением. Допустимое решение r m, наз-ся базисным решением. Баз. решение кот достигает min целев. ф-ии f(x) наз-ся оптимальн решением, кот требуется найти. для решения прим-ся граф. и симплексный метод. n=2, m=3 n-m=1

Симплек метод реш ЗЛП

Универсальным методом реш ЗЛП явл=ся симплекс метод, кот непосредственно примен-ся . Баз решение опред. координаты вершин многогранника реш=ий и из них необход найти ту вершину, кот доставляет min целев ф-ии f(x).

При больших числах ограничения n и числа неизвестных m найти оптимальное решение трудно. Max яисло переборов будет , поэтому необходимо иметь схему, позволяющую исходя из известного баз реш-я найти оптимальное решение . Такой схемой яв-ся симплек метод.

2 этапа:

1. нахождение первоначальн баз реш

2. отправляясь от исход баз решения при помощи симплек метода нахожд-ие оптим реш-ия. Это достигается путем перемены местами одной из базисн переменных некот небазисн переменной , при этом значение баз. перем-ой увеличиваем до некот. значения, кот опред-ся ограничениями задачи.

Переменные :

-базисные r

- небазисные , применяются равными 0.

Каждый шаг приближает к min

Обычно ЗЛП решается в ручную с помощью симплекс таб.

Иногда вместо исходной ЗЛП выгоднее решать другую задачу , называемую двойственной , когда число ограничений гораздо больше число значений.

Сложности при формировании критериев

критерии, точнее стремление к min-зации или max-ции его значений часто объявляется целью операции. цель операции может быть достигнута единственным образом и служит для сбора наиболее экономичных стратегий из числа допустимых.

критерий – это показатель, дающий представление о степени достижения цели.

построение критерия (ц.ф.) вызывает большие трудности:

1. мат. модель(ц.ф.) должна адекватно отражать реальность, в то же время не должна быть переусложненной и детализированной. должна быть устройчивой по отношению к ошибкам проектной реализации

2. другая сложность связана со стохастическим харакером операции, т.е. ц.ф. может быть записана в виде:

J( f( (1)

max f( (2)

(2) имеет смысл когда Х и У – значения параметра = (

это оптим решение, если мы знаем в момент принятия решения параметры

в противном случае неизвестно какой вектор выбрать в качестве решения.

если констр-я исп-ся многократно, то разумно оптим. параметры выбрать из условий максиимизации мат. ожидания критерия.

M[f(

можно взять min от дисперсии

f(

3. обычно операции оцениваются несколькими показателями. почти все технические объекты явл-ся многоцелевыми(т.е. предназначены для выполения ряда задач)

4. задачи исслед. операции(принятия решения) содержит различного типа неопределенности, отражающие факт, что знание исследователя относительно и неточно.

Стохастичность и неопределенность задачи принятия решения

вычислит. операции различают 3 типа неопределенностей

1)неопределенность цели

2) неопределенность обстановки( природ. неопределенности) или неопределенность моделей и исход. данных

3)неопределенность самого решения(неопределенность действия партнеров)

неопределенность цели.

стремление получить max доход при минимальных затратах. говорит о наличии по крайней мере 2 критериев оптимизации.

max f( ) – доход

min F( ) – расход

строго говоря, дан. задача не имеет смысла, т.е решения потому что min затрат - это 0, а с нулевыми затратами производить прод. невозможно. исследователь не может приступить к исследованию оптимизационной задачи. действительно, если цели противоречивы, то не сущестует альтернативы, кот. бы наилучшим образом соотвествовала каждой цели. отсюда следует, что задача выбора единствен. альтернативы неразрешима.

тем не менее мы будем предполагать, что задача выбора ед. альтернативы имеет решение. наличие ед. алтернативы (решения) говорит от том, что найденная альтернатива лучше в некотором смысле тех альтернатив, кот. не выбираются.

реальное решение(альтернатива) всегда будет каким-то компромиссом, каким-то соченанием требуемых качеств(альтернатив, критериев), но каких исследователю заранее неизвестно.

т.о. осн. проблема состоит не в том, что есть операции одноцелевого и многоцелевого хар-ра, а в том, что есть операции, цель которых извества исследователю. и которых не известна. такая ситуация вычислительных операция наз-ся неопределенностью выбора цели.

всё это есть проблема многокритериальности (неопределенности цели)

неопределенность цели требует привлечения доп. гипотез, если мы хотим однозначно сформулировать цель операции

возникает проблема: критериев много(к штук), а цель одна.

max ( ) i= (6)

(k

если критериев от 2 и более, то это многокритериальная задача.

(6) – матем. постановка задачи многокритериальной оптимизации

возникновение нескольких критериев или векторного критерия ( оценки качества альтернатив порождает 2 осн. задачи:

1. состоит в построении процедур, выявления предпочтений лица, принимающего решение(ЛПР) на языке векторных оценок алтернатив – это задача многокритериальн. оптимизации

2. связана с построением процедур отсеивания плохих альтернатив. отсеивание плохих альтернатив – выделение альтернатив, max – ных по данной системе критериев.

неопределенность цели носит неустранимый характер, т.е. не может быть достаточно обоснованных исключена из рассмотрения до решения.