![](/user_photo/1363_n5AgO.jpg)
Шпоры по диффурам
.docx
Доказательство: 1(x)…n(x)- реш., C1…Cn: C11+…+Cnn – реш. Пусть y(x) – произвольное решение системы (1). Зафиксируем x0I. Вычислим y(x0)= y0. Вычислим 1(x)…n(x)- они лин. незав., т.к. W(x0)0. Числа y0, 1(x0)…n(x0) Rn(Cn), значит: y0 лин. выражается 1(x)…n(x), т.е. сущ. 1…n такие, что y0=i=1nii(x). Рассм. вект.-функц. Z(x)= y(x) - i=1nii(x). Z(x) – решение сист. (1). Z(x0)= y(x0) - i=1nii(x0)= y0 - i=1nii(x0)=0. Таким образом Z(x) – решение зад. Коши dy/dx=A(x)y, y(x0)=0. Эта задача имеет только нул-ое реш. xI: Z≡0, т.е. y(x)=i=1nСii(x). |
|
|
Докзательство:
Из
теор (11) (_Для
того чтобы вектор-функция y=γeλx
являлась решением системы
Действ.случ: A = ||aij||nn, ij: aijR; (3) dy/dx = Ay (4) det|A - E| = 0 – действ. многочлен. степ. n и урав. имеет корни 1… n. I) Пусть 1… n-прост. действ. корни.( т.е. i≠j, j≠i); тогда сист. (3) имеет ФСР y1=γ1*e1x… yn=γn*enx; где γ1…γn-дейст.соб.век. Общ.реш.: C1γ1e1x+…+ Cnγnenx
II)
Пусть
среди 1…
n
встреч. компл. числа =
+ i,
, ex= e( + i)= ex(cosx+i*sinx) e(сопряж)x= e( - i)= ex(cosx-i*sinx), след. ex(сопряж)= e(слпряж)x |
Необходимо: L[ψ(x)]= b(x) Подставляем ψ(x) в (9)
Ψ= dψ/dx=A(x) ψ(x)+b(x)
dψ/dx=
+b(x)=
Заметим,
= Получим
систему:
Ф(x)= С(x)=(
det
Ф(x)=W(x)=W[
Ф(x)C’(x)=b(x), C’(x)=Ф-1(x)b(x)=g(x) Ci’(x)=gi(x) i=1,…n
Ci(x)=
y=
ψ+
y=
k1, … kn – произвольные постоянные
|
|
33.Следствие
1. Все решения
системы ЛДУ устойчивы (ассимтотически
устойчивы), если у этой системы
Следствие
3. Система
ЛДУ называется (асимтотически)
устойчивой, если у нее
Замечание.
1) вектор-функция
2)
3)Если
Теорема 2. Система ЛДУ устойчива т и тт, когда все решения этой системы ограниченны (без док-ва) |
32.Решение y(t,y0*) неустойчиво, если: 1.выполняется 2.
*для одной и той же системы одно решение может быть устойчивым, а другое неустойчивым. Сведение к исследованию на устойчивость нулевого решения приведенной системы. Пусть дана задача Коши (1),(2). Исследуем на устойчивость реш (1),(2*). y=y(t,y0), введем новую переменную x(t) = y(t)-y(t,y0*), y(t) – произвольное решение (1) Сделаем замену в задаче (1),(2) y=y(t,y0) решение
(1),(2*) т.е
y(t0,y0*)=y0*,
y(t)=x(t)+y(t,y0*)
x(t) Обозначим: f(t,x)=F(t,x(t)-y(t,y0*)-F(t,y(t,y0*))) Приведенная задача: (1’)
(2’) y(t,y0)
– устойчивость(асимптотическая
устойчивость) решения x
|
31.Теор. 2.: Пусть lÎС и `l комплексно-сопряж . Если y=γeλx , где γЄ Cn явл-ся реш-ем с-мы(3), то ф-я `y(x) также явл-ся реш-ем с-мы (3). При этом, если y(x)=U(x)+iV(x) , где U(x), V(x) действит вектор-ф-ции, то U(x) и V(x) также реш-е с-мы (3). Док-во:` y=` γ` eλx =` γ e`λx ; согласно теор 1 явл-ся реш (3) т и т т когда λ явл-ся собст значением матр А а γ¹`0 соб вектор удовлет соб знач-ю λ, т е А γ= λ γ ; `А` γ=` λ` γ ; значит А γ=` λ `γ т е `λ – собст значение матр А, `γ-собст вектор приним собст знач `λ . По теор 1 в этом случае `y= γ e`λx явл решением сист (3) Предст y(x)=U(x)+iV(x), где U(x) и V(x) действит вект ф-ия. По теор 3, если y(x) явл-ся реш сист (3), то U(x)=Rey(x) и v(x)=Jmy также реш с-мы (3) Лемма:
Если
y1(x),
Док-во: y1(x),…yn(x) – ФСР, то W(0)=0, W(o)=W(U(x)+iV(x),U(x)-iV(x),y3(x),…yn(x))|x=0= =-2iW(U(x),V(x),y3(x),…yn(x))|x=0≠0, т.к W(0)=0,то W(U(x),V(x),y3(x),…yn(x))|x=0≠0 U(x),V(x),y3(x),…yn(x) –лин. незав. реш.(ФСР) 2)Кратные корни
λ1=λ2=…=λm=μ – корень кратности m характеристического уравнения системы (4) Теорема:
пусть
μ- корень кратности m
характеристического уравнения системы
(4), тогда система (5) имеет m
линейно независимых решений вида:
y=(γ0+γ1t+…+γm-1tm-1)eμx,
где γ0,γ1,γm-1
|
37.
Исследование
устойчивости положения покоя системы
двух ЛДУ с постоянными коэффициентами
в случае
Точки покоя:
det(A-λE) = 0
1)
Решение
периодично T= x(t)=x(t+T) y(t)=y(t+T) Все фазовые траектории замкнуты Центр
(нет асимптотической устойчивости) |
38.
Исследование устойчивости положения
покоя системы двух ЛДУ с постоянными
коэффициентами в случае
Точки покоя:
det(A-λE) = 0
1)
Матрица А имеет 1 линейно независимый
собственный вектор (к
а)
асимптоти-чески устойчивая система
Устойчивый вырожденный узел |
39.
Исследование устойчивости положения
покоя системы двух ЛДУ с постоянными
коэффициентами в случае
Точки покоя:
det(A-λE) = 0
Точек покоя бесконечное множество
Все
точки покоя заполняют прямую
а)
|
40. Нелинейные системы. Исследование устойчивости по первому приближению. Теорема Ляпунова. dx/dt=f(t,x);(9)
dxi/dt=fi(t,x1…xn);
f(t, пусть система (9) предст. в виде dx/dt=A(t)x+R(t,x) (10) где
А(t)=aij(t),
где aij(t) Тогда dx/dt=A(t)x называется системой первого приближения для (9),(10). Теорема
Ляпунова:
пусть вектор-функция R(t,x)
непрерывно диффер. при
а
А(t) имеют отриц. действит. корни, то нулевое решение системы (9) и (10) асимптот. устойчивое. 2)если сущ. Корень характер. уравнения, имеющий положит.действит. числа, то нулевое решение системы неустойчиво. (БЕЗ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА) Теорема. Если вектор-функция f(x) дважды непрерывно диффер. В окрестности точки х=0 и f(0)=0, то система dx/dt=f(x) приводится к виду dx/dt=A(t)x+R(t,x) и для нее справедливы условия теоремы Ляпунова. |
35. Понятие фазового пространства и фазовой траектории. Автономные системы ОДУ, св-ва их фазовых траекторий.
Считается,
что
Пусть
Кривая
Г: -интегральная кривая системы (6) Гс Определение.
Пространство
Определение.
Если
функции
То система ОДУ называется автономной Определение.
Точка
|
34. Теорема об устойчивости системы ЛДУ с постоянными коэффицентами. (5)
Все решения системы определены на всей числовой оси Рассмотрим
характеристическое уравнение системы:
det(A-λE)=0;
Теорема
3. 1) если все корни характеристического
уравнения системы (5)
Имеют отрицательные действительные части (т.е.
Замечание.
1)
Если
2)Если
|
|
36.
Исследование
устойчивости положения покоя системы
двух ЛДУ с постоянными коэффициентами
в случае
Находим точки покоя
(x0,y0)
— точка прямой
1°
|
|
39. асимптотической устойчивости нет так как:
б)
2)
Решение
ненулевое неограниченно
II)
A
|
б)
Неустойчивый вырожденный узел
2)
Матрица А имеет 2 линейно независимых
собственных вектора
a) асимптотически устойчивая система устойчивый дикритический узел
б) неустойчивый дикритический узел
|
37.
Система асимптотически устойчива; фазовые траектории: спирали, накрученные на точку покоя
Устойчивый фокус
а)
Система
неустойчива; фазовые траектории:
раскрученные спирали
Неустойчивый фокус
|
|
Свойства фазовых траекторий автономной системы 1)
Если
точка
Док-во:
2)
Если
Док-во:
Замечание:
Точка покоя
3)
Если фазовая траектория отлична от
точки покоя, то она является гладкой
кривой(т.е. в каждой её точке
4)
Если
5)
6)
|
|
|
|
|