Шпоры.Диффуры.3 сем

Доказательство: ₁(x)…_n(x)- реш.,  C₁…C_n: C₁₁+…+C_n_n – реш. Пусть y(x) – произвольное решение системы (1). Зафиксируем x₀I. Вычислим y(x₀)= y₀. Вычислим ₁(x)…_n(x)- они лин. незав., т.к. W(x₀)0. Числа y₀, ₁(x₀)…_n(x₀)  Rⁿ(Cⁿ), значит: y₀ лин. выражается ₁(x)…_n(x), т.е. сущ. ₁…_n такие, что y₀=_i=1ⁿ_i_i(x). Рассм. вект.-функц. Z(x)= y(x) - _i=1ⁿ_i_i(x). Z(x) – решение сист. (1). Z(x₀)= y(x₀) - _i=1ⁿ_i_i(x₀)= y₀ - _i=1ⁿ_i_i(x₀)=0. Таким образом Z(x) – решение зад. Коши dy/dx=A(x)y, y(x₀)=0. Эта задача имеет только нул-ое реш. xI: Z≡0, т.е. y(x)=_i=1ⁿС_i_i(x).

Докзательство: Из теор (11) (_Для того чтобы вектор-функция y=γe^λx являлась решением системы =Ay необходимо и достаточно, чтобы λ было собственным значением матрицы А, а γ собственным вектором, соответствующим собственному значению._) следует, что а y₁(x).. y_n(x) – решениея сист. (3). Докажем лин незав y₁(x).. y_n(x): Вычислим опр. Вронского этих функ. в x₀=0: W(0)=[y₁e^1x…y_ne^nx]= W(γ₁*e^1x… γ_n*e^nx)≠0, т.к. соб.век. γ₁…γ_n, матр.А, относящ. К различ. соб.знач. ₁… _n – лин.незав. Т.к. W(0)≠0, то y₁(x).. y_n(x)-лин.незав.След., они образуют ФСР. Общ. реш. имеет вид: C₁γ₁e^1x+…+ C_nγ_ne^nx , где C1...Cn – произв числа (копл).

Действ.случ: A = ||a_ij||_nn, ij: a_ijR; (3) dy/dx = Ay

(4) det|A - E| = 0 – действ. многочлен. степ. n и урав. имеет корни ₁… _n.

I) Пусть ₁… _n-прост. действ. корни.( т.е. _i≠_j, j≠i); тогда сист. (3) имеет ФСР y₁=γ₁*e^1x… y_n=γ_n*e^nx; где γ₁…γ_n-дейст.соб.век. Общ.реш.: C₁γ₁e^1x+…+ C_nγ_ne^nx

II) Пусть среди ₁… _n встреч. компл. числа = + i, ,R, = + i-корни хар-го урав-ия, -соб.знач., γ≠0- соб.век. y=γ*e^x по теор (11) реш. сист-мы (3).

e^x= e^{( + i)}= e^x(cosx+i*sinx)

e^{(сопряж)x}= e^{( - i)}= e^x(cosx-i*sinx), след. e^x(сопряж)= e^{(слпряж)x}

Необходимо: L[ψ(x)]= b(x)

Подставляем ψ(x) в (9)

Ψ=

dψ/dx=A(x) ψ(x)+b(x)

dψ/dx=;

+=A(x)+

+b(x)=+b(x)

+ =b(x)

Заметим,

=

Получим систему: =b(x)

Ф(x)=) - фундаментальная матрица

С(x)=( ) , Ф(x)C’(x)=b(x)

det Ф(x)=W(x)=W[]

xI : det Ф(x)0 , значит Ф^-1(x)C(I)

Ф(x)C’(x)=b(x), C’(x)=Ф^-1(x)b(x)=g(x)

Ci’(x)=gi(x) i=1,…n

Ci(x)=

(x)=

y= ψ+

y=

k1, … kn – произвольные постоянные

33.Следствие 1. Все решения системы ЛДУ устойчивы (ассимтотически устойчивы), если у этой системы хотя бы одно (асимтотически) устойчивое решение.

Следствие 3. Система ЛДУ называется (асимтотически) устойчивой, если у нее хотя бы одно (асимтотически) устойчивое решение. В противном случае система ЛДУ является неустойчивой.

=- устойчиво, если

Замечание. 1) вектор-функция назывется ограниченной на множестве , если такое, что

2)=

является ограниченной на в том и только в том случае, когда ограниченна на функция

3)Если ||, то i=1,…,n : |x(t)|||M

Теорема 2. Система ЛДУ устойчива т и тт, когда все решения этой системы ограниченны (без док-ва)

32.Решение y(t,y0*) неустойчиво, если:

1.выполняется

2.

(t-время)

*для одной и той же системы одно решение может быть устойчивым, а другое неустойчивым.

Сведение к исследованию на устойчивость нулевого решения приведенной системы.

Пусть дана задача Коши (1),(2). Исследуем на устойчивость реш (1),(2*). y=y(t,y0), введем новую переменную x(t) = y(t)-y(t,y0*), y(t) – произвольное решение (1)

Сделаем замену в задаче (1),(2)

y=y(t,y0)

решение (1),(2*) т.е

y(t0,y0*)=y0*, y(t)=x(t)+y(t,y0*)

x(t) y(t)=y(t,y0*),

Обозначим: f(t,x)=F(t,x(t)-y(t,y0*)-F(t,y(t,y0*)))

Приведенная задача:

(1’)

(2’)

y(t,y0) – устойчивость(асимптотическая устойчивость) решения xзадачи (1’),(2’)

31.Теор. 2.: Пусть lÎС и `l комплексно-сопряж . Если y=γe<sup>λx</sup> , где γЄ C<sup>n</sup> явл-ся реш-ем с-мы(3), то ф-я `y(x) также явл-ся реш-ем с-мы (3). При этом, если y(x)=U(x)+iV(x) , где U(x), V(x) действит вектор-ф-ции, то U(x) и V(x) также реш-е с-мы (3).

Док-во:` y=` γ` e<sup>λx</sup> =` γ e`<sup>λx</sup> ; согласно теор 1 явл-ся реш (3) т и т т когда λ явл-ся собст значением матр А а γ¹`0 соб вектор удовлет соб знач-ю λ, т е А γ= λ γ ; `А` γ=` λ` γ ; значит А γ=` λ `γ т е `λ – собст значение матр А, `γ-собст вектор приним собст знач `λ . По теор 1 в этом случае `y= γ e`^λx явл решением сист (3)

Предст y(x)=U(x)+iV(x), где U(x) и V(x) действит вект ф-ия. По теор 3, если y(x) явл-ся реш сист (3), то U(x)=Rey(x) и v(x)=Jmy также реш с-мы (3)

Лемма: Если y1(x), (x), y3(x),…, yn(x) - ФСР системы(5) и y1(x)=U(x)+iV(x), а =U(x)-iV(x) , где U(x), V(x) – действительные вектор-функции, то U(x), V(x), y3(x),…, yn(x) образуют ФСР системы.

Док-во: y1(x),…yn(x) – ФСР, то W(0)=0, W(o)=W(U(x)+iV(x),U(x)-iV(x),y3(x),…yn(x))|_x=0=

=-2iW(U(x),V(x),y3(x),…yn(x))|_x=0≠0, т.к W(0)=0,то W(U(x),V(x),y3(x),…yn(x))|_x=0≠0

U(x),V(x),y3(x),…yn(x) –лин. незав. реш.(ФСР)

2)Кратные корни

=Ay (3) A=||aij||_n×n aijC, пусть

λ1=λ2=…=λm=μ – корень кратности m характеристического уравнения системы (4)

Теорема: пусть μ- корень кратности m характеристического уравнения системы (4), тогда система (5) имеет m линейно независимых решений вида: y=(γ₀+γ₁t+…+γ_m-1t^m-1)e^μx, где γ₀,γ₁,γ_m-1Cⁿ

37. Исследование устойчивости положения покоя системы двух ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае , - комплексные.

A=,

;

Точки покоя:

,

, единственная точка покоя (0,0).

det(A-λE) = 0

=0 – характеристическое уравнение.

– корни характеристического уравнения.

1) =0, , ,

, т.е. нулевое реш. не явл. асимптотически уст.

Решение периодично T=

x(t)=x(t+T)

y(t)=y(t+T)

Все фазовые траектории замкнуты

Центр (нет асимптотической устойчивости)

38. Исследование устойчивости положения покоя системы двух ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае ,

A=,

Точки покоя:

,

, единственная точка покоя (0,0).

det(A-λE) = 0

=0 – характеристическое уравнение.

– корни характеристического уравнения.

кратные корни

=+

-собственный вектор, отвечающий

1) Матрица А имеет 1 линейно независимый собственный вектор (к)

а)

асимптоти-чески устойчивая система

Устойчивый вырожденный узел

39. Исследование устойчивости положения покоя системы двух ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае .

A=,

Точки покоя:

,

det(A-λE) = 0

=0 – характеристическое уравнение.

– корни характеристического уравнения.

=0, пусть .

=0.

Точек покоя бесконечное множество

Все точки покоя заполняют прямую

. .

,

=+ параметрическое задание прямой с направляющим вектором

а) все решения ограничены система устойчива.

40. Нелинейные системы. Исследование устойчивости по первому приближению. Теорема Ляпунова.

dx/dt=f(t,x);(9)

dxi/dt=fi(t,x1…xn); f(t,)=;

пусть система (9) предст. в виде dx/dt=A(t)x+R(t,x) (10)

где А(t)=aij(t), где aij(t) [t0;) выполняется неравенство:

Тогда dx/dt=A(t)x называется системой первого приближения для (9),(10).

Теорема Ляпунова: пусть вектор-функция R(t,x) непрерывно диффер. при (IIxII<C0) и для [t0;)

а А(t), тогда 1)если все корни det(A-λE) = 0

имеют отриц. действит. корни, то нулевое решение системы (9) и (10) асимптот. устойчивое. 2)если сущ. Корень характер. уравнения, имеющий положит.действит. числа, то нулевое решение системы неустойчиво. (БЕЗ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА)

Теорема. Если вектор-функция f(x) дважды непрерывно диффер. В окрестности точки х=0 и f(0)=0, то система dx/dt=f(x) приводится к виду dx/dt=A(t)x+R(t,x) и для нее справедливы условия теоремы Ляпунова.

35. Понятие фазового пространства и фазовой траектории. Автономные системы ОДУ, св-ва их фазовых траекторий.

= (6) = i=1,…,n

Считается, что определена и непрерывно дифференцируема в области G

Пусть =(t), t –решение системы (6)

Кривая Г: –

-интегральная кривая системы (6)

Гс – пространство решений

Определение. Пространство называется фазовым пространством системы (6), а кривая , задаваемая направлением , где =(t)=(- решение системы (5), называется фазовой траекторией системы (5).

Определение. Если функции не зависят явно от , т.е. система имеет вид (7) = ; =

То система ОДУ называется автономной

Определение. Точка =(,…, называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (7), если , т.е.

34. Теорема об устойчивости системы ЛДУ с постоянными коэффицентами.

(5) = A=|||;

Все решения системы определены на всей числовой оси

Рассмотрим характеристическое уравнение системы: det(A-λE)=0; ,-корни характеристического уравнения.

Теорема 3. 1) если все корни характеристического уравнения системы (5) =0

Имеют отрицательные действительные части

(т.е. , то система асимптотически устойчива. 2) если хотя бы 1 корень характеристического уравнения с положительной действительной частью (т.е. к: , то система (5) неусточива

Замечание. 1) Если <0, nN, R, то функции:

, , ограничены на [0,+ и

==0;

2)Если то многочлена степени n функции:, , - ограниченны на [0,+ =0; 3) Если то функции ,, и

- неограниченны на [0,+

36. Исследование устойчивости положения покоя системы двух ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае , - действительные.

,

Находим точки покоя

— вектор скорости

1. — единственная точка покоя (0,0)

2. 

(x₀,y₀) — точка прямой

3. — все точки плоскости есть точки покоя.

— характеристическое уравнение

— корни

1. ,

1° ,

— общее решение

39. асимптотической устойчивости нет так как:

б) неустойчивая система

2)=0

=+,

Решение ненулевое неограниченно система неустойчива.

II) A точки покоя - все точки плоскости

б) неустойчивая система

Неустойчивый вырожденный узел

2) Матрица А имеет 2 линейно независимых собственных вектора

,

=+=

, y=x

a),

асимптотически устойчивая система

устойчивый дикритический узел

б) неустойчивая система

неустойчивый дикритический узел

37. а) =Re,,

Система асимптотически устойчива; фазовые траектории: спирали, накрученные на точку покоя

Устойчивый фокус

а) =Re,

Система неустойчива; фазовые траектории: раскрученные

спирали

Неустойчивый фокус

Свойства фазовых траекторий автономной системы

1) Если точка =(,…,-точка покоя системы (7), то вектор-функция (t) является решением системы (7)

Док-во: ===f((t)- решение (7)

2) Если точка покоя системы (7), то – фазовая траектория системы (7)

Док-во: (t)- решение (7)

Замечание: Точка покоя = называется (ассимтотически) устойчивой или неустойчивой, если устойчиво или (ассимтотически устойчиво или неустойчиво) решение (t).

3) Если фазовая траектория отлична от точки покоя, то она является гладкой кривой(т.е. в каждой её точке ненулевой касательный вектор).

4) Если =(t)- решение системы (7), то для вектор-функция =(t+с)- также решение системы (7) и фазовые траетории этих решений совпадают.

5) 2 фазовые траектории либо не пересекаются, либо совпадают.

6) следующие типы фазовых траекторий: 1. Точка (положение равновесия); 2.гладкая замкнутая кривая (цикл); 3.гладкая кривая без точек самопересечения;

—2 луча, соответствующих.

—2 луча, соответствующих.

1. ,

1. — система асимптотически устойчива.

2. ()

2. ,

— система неустойчива.