6. Ранг матриці

Рангом матриці A розмірність mXn називається найвищий порядок відмінного від нуля мінора утворенного з елементів матриці. Позначають ранг – r чи r(A)

7. Система лінійних алгебраїчних рівнянь. Основні означення. Основна теорема про сумісність системи лінійних рівнянь (теорема Кронекера-Капеллі)

Якщо всі вільні члени заданої матриці дорівнюють 0, то система називається однорідною, якщо хоча б один вільний член не дорівнює 0 система не однорідна.

Якщо система має хоча б один розв’язок її назив. сумісною, якщо система розв’язків не має її назив. не однорідною.

Теорема: система лінійних алгебрарічних рівнянь сумісна тоді, і тільки тоді, коли ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці.

8. Матричний метод

1.

2. Алгебрарічні доповнення , до всіх елементів матриці А.

3. З алгебрарічнихдоповнень сскладають матрицю в яку записують алгебраїчні доповнення не в звичайному порядку, а в транспоновану -

4.

9. Метод Крамера

Якщо головний визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих, системи n-лінійних рівнянь з n-невідомими відмінний від нуля, то така система рівнянь має єдиний розв’язок (сумісна і визначена), який знаходиться за формулами:

, , ..., .

де -головний визначник, який складається з коефіцієнтів при невідомих у лівій частині системи.

-визначник, який одержується шляхом заміни j-го стовпчика в головному визначник на стовпчик вільних членів.

10. Метод Гаусса

Розв’язання рівнянь методом Г-Ж здійснюється за допомогою розрахункової таблиці в яку записують коофіцієнти при невідомих, стовпчики вільних членів і контрольний стовпчик.

В контрольний стовпчик 1-ого стовбця записують сумму елементів по рядках. Елементи контрольного стовпчика 2-ого і наступних таблиць продовжують за правилом прямокутника. Контроль здійснюють так: якщо скма елементів рядка, крім останньго дорівнює останньму елементу, то обчислення зроблене вірно.

Розв’язування продовжується доки ми не отримаємо стільки одиночних векторів, скількі залишилося рівнянь.

I. Диференціальне числення функцій

однієї змінної.

1. Основні теореми про границі:

а)

б)

Зокрема,

в)

2. Особливі границі:

а) б)

3. Зв'язок між десятковими та натуральними логарифмами:

lg x=М ln x, де М=lg e=0,43429…

4. Приріст функції у=f(x), що відповідає приросту аргументу х:

5. Умова неперервності функції у=f(x):

Основна властивість неперервної функції:

6. Похідна

Геометрично y ^/=f ^/(x) - кутовий коефіцієнт дотичної до

4

Правила і формули диференціювання:

а) C=0; б) (U+V-W)=U+V-W;

в) (CU)=CU; г) (UV)=UV+VU;

д) е)

є) ; и) (хⁿ)=n x^n-1, x=1;

і) (sin x)=cos x; ї) (cos x)=-sin x;

й) (tg x)=sec²x; к) (сtg х)=-cosec²x;

л) м) (а^x)=a^x ln a, (e^x)=e^x.

н) (аrcsin x)= o) (arccos x)= ;

п) (arctg x)= р) (arcctg x)=

7. Теорема Лагранжа про кінцеві прирости диференційовної функції:

f(x₂)-f(x₁)=(x₂-x₁)f^/(), де  є (х₁,х₂).

8. Функія у=f(x) зростає, якщо f^/(x)>0, і спадає, якщо f(x)<0.

9. Правило Лопіталя для невизначеностей виду або :

якщо границя з права існує.

10. Локальна формула Тейлора:

f(x)=f(x₀)+f^/(x₀)(x-x₀)+…+

де f⁽ⁿ⁾(x) існує в деякому повному околі точки х₀.

11.а) Необхідна умова екстремуму функції f(x) в точці x₀:

5

6) .

7)

8)

9) .

10) .

11) .

12) де 0.

13)

14)

3. Основні методи інтегрування.

а) метод розкладу:

, де f(x)=f₁(x)+f₂(x)

б) метод підстановки: якщо x=(t), то

в) метод інтегрування частинами:

4. Формула Ньютона-Лейбніца: якщо f(x) - неперервна і F(x)=f(x), то

.

5. Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми:

8

де , (n=1, 2,…).