Коэффициент линейной корреляции Пирсона

Наиболее распространенный коэффициент корреляции. Предназначен для расчета силы и направления линейной зависимости между переменными исследования.

Смысл коэффициента линейной корреляции.

Коэффициент линейной корреляции отражает меру линейной зависимости между двумя переменными. Предполагается, что переменные измерены в интервальной шкале либо в шкале отношений.

Если представить две переменные на координатном поле , то каждая пара значений будет отображать координаты точки в этом поле. Чем ближе точки к усредненной прямой, тем выше коэффициент корреляции (см. следующий рисунок ),.

Коэффициент корреляции будет положительным числом, когда при повышении X происходит повышение Y (прямопропорциональная связь), отрицательным при обратнопропорциональной связи. На иллюстрации изображены различные по силе положительные коэффициенты корреляции.

На следующей иллюстрации видны специально сгенерированные формы зависимостей и коэффициенты корреляции для них.

Как видим, линейный коэффициент корреляции срабатывает лишь при линейном характере взаимосвязи переменных.

Общая формула:

Где xi и yi - сравниваемые количественные признаки, n – число сравниваемых наблюдений, σx и σy – стандартные отклонения в сопоставляемых рядах.

Для расчетов вручную используется преобразованная формула:

Несмотря на кажущуюся громоздкость формулы, она значительно облегчает ручной расчет.

Иллюстрация расчетов:

Полученный коэффициент корреляции проверяется на значимость с помощью таблицы критических значений. Для этого вычисляем количество степеней свободы df=N-2 и на пересечении с необходимым уровнем значимости находим критическое значение коэффициента. В нашем случае df=8, уровень значимости выбираем 0,1. Получаем критический коэффициент r=0.54. Так как 0,69 > 0,54 делаем вывод о значимой корреляции (r=0,69;p≤0,1).

Уравнение регрессии

Уравнение регрессии выглядит следующим образом: Y=a+b*X

При помощи этого уравнения переменная Y выражается через константу a и угол наклона прямой (или угловой коэффициент) b, умноженный на значение переменной X. Константу a также называют свободным членом, а угловой коэффициент - коэффициентом регрессии или B-коэффициентом. В большинстве случав (если не всегда) наблюдается определенный разброс наблюдений относительно регрессионной прямой. Остаток - это отклонение отдельной точки (наблюдения) от линии регрессии (предсказанного значения).