6.8 Конструирование поверхностей методом Кунса
Поверхность в трехмерном пространстве определяется множеством точек, которые имеют две степени свободы. Если u и w – два независимых параметра, то поверхность, построенную по методу Кунса, можно определить следующим образом:
(x, y, z) = (X (u, w), Y (u, w), Z (u, w)) = : uw.
Отсюда получаем следующие сокращения:
uwu = д(uw)/ дu, uww = д(uw)/дw,
uwuw = д2(uw)/(дuдw).
Независимые переменные u и w изменяются внутри интервала 0 ≤ u ≤ 1 и 0 ≤ w ≤ 1. Отсюда получаются границы отсека поверхности:
P (u, w) = uw;
P (u, 0) = u0;
P (u, 1) = u1;
P (0, w) = 0w;
P (1, w) = 1w.
Зафиксировав два параметра, можно определить точку на поверхности. Таким образом определяются концевые точки границы отсека 00, 01, 10 и 11 (рисунок 6.21). Для дальнейшего рассмотрения Кунс ввел скалярные функции смешения F0, F1, G0 и G1, которые являются функцией одного переменного.
|
Рисунок 6.21 - Построение поверхности методом Кунса |
Для полинома третьей степени, записанного в параметрическом виде,
P
(u) =
=
P1F0
(u)
+ P2F1
(u) + P1uG0
(u) + P2uG1
(u),
получаются следующие функции смешения:
F0 (u) = F0u = 2u3 - 3u2 + 1;
F1 (u) = F1u = - 2u3 + 3u2;
G0 (u) = G0u = u3 - 2u2 + u;
G1 (u) = G1u = u3 - u2.
Отсюда уравнение для бикубической порции поверхности имеет вид:
Q
(u,
w)
= (F0uF1uG0uG1u)
(P)
,
либо
Q (u, w) = (u3u2u1) NPNT (w3w2w1)T,
либо
Q (u, w) = UNPNT WT.
Матрица Р содержит значения векторов, характеризующих положение границ поверхности, и значения векторов производных в углах участков поверхности.
Однако не все поверхности можно описать с помощью границ отсека полиномами третьей степени. Можно встретить поверхности, границы отсека которых определяются только рациональными функциями смешения. Если границы отсека поверхности описываются уравнениями различных типов, то необходимо ввести переменные функции смешения, не зависящие от границ отсека. Также можно использовать функции смешения более высокого порядка, но это приводит к значительным осцилляциям и большому количеству экстремумов.
Для представления граничных кривых и функций смешения Кунс применил В-сплайны. Тем самым он объединил преимущества обоих методов.
6.9 Конструирование поверхности методом Безье
Поверхность, построенная по методу Безье, определяется множеством точек, которые образуют характеристическую сетку (рисунок 6.22).
Рисунок 6.22 – Бикубическая поверхность Безье с характеристической сеткой
Такие точки поверхности называются вспомогательными. Если приписать двойной индекс, то их можно рассматривать как элементы матрицы. В этом случае задача конструирования поверхности сводится к определению поверхности по заданной характеристической сетке. Пусть задана матрица А размером (m + 1) × (n + 1), элементы которой определяют характеристическую сетку поверхности. Из матрицы А выбираются все элементы с одинаковым первым индексом, т. е. все элементы одной строки. Через вспомогательные точки поверхности, которые соответствуют таким элементам, проводится характеристическая ломаная для каждой строки матрицы. В результате этого образуется (m + 1) характеристических ломаных и соответственно определены (m + 1) кривая Безье. На каждой кривой находится точка, которая соответствует определенному значению параметра u. Через полученные (m + 1) точки проводится новая характеристическая ломаная, определяющая кривую Безье с постоянным значением параметра u. Для любого заданного значения параметра v на этой кривой находится искомая точка поверхности Р(u, v).
В общем случае уравнение поверхности, построенной по методу Безье, можно записать в виде:
Р(u, v) = VFAFTUT.
При этом
fi, n(v) = VF (матрица весовой функции в направлении v),
fj, m(u) = FTUT (транспонированная матрица весовой функции в направлении u),
=
А (коэффициенты вспомогательных точек
поверхности).
Как и в случае интерполяции кривых, так и при интерполяции поверхностей методом Безье находятся вспомогательные точки поверхности, т.е. определяется сетка, которая содержит вершины характеристических ломаных. Из уравнения, определяющего поверхность Безье Р(u, v) по заданным точкам поверхности, находится матрица А:
А = V-1F-1P(FT)-1(VT)-1.