6.5 Kpивыe, пocтpoeнныe c пoмoщью в-cплaйнoв

Paнee пoд сплайном понимали гибкие деревянные или металлические линейки, которые называли также лекалами. Они могли изгибаться так, чтобы проходить через заданные точки. Кривые, описанные таким сплайном, находят широкое применение в судо-, автомобиле- и самолетостроении. В настоящее время имеются удобные математические методы для описания таких кривых, поэтому они используются при конструировании криволинейных форм и в других отраслях промышленности.

Пусть U = (u₀ = 0, u₁, …, u_n = n), u₀ ≤ u₁ ≤ … ≤ u_n – разбиение интервала [0, n] на отрезки (u_i, u_i+1), где n и u_i = i, i = 0, …, n являются натуральными числами. При этом u_i называются узлами, а U – множеством узлов.

В-сплайном k-го порядка называется функция М_i,k (x), равная нулю на данном множестве узлов, за исключением k последовательных отрезков.

Шерберг показал, что метод аппроксимации с помощью В-сплайнов позволяет получить кривые, которые имеют такие же свойства, как и кривые Безье. Это означает:

- оптимальную аппроксимацию линейных функций;

- число точек пересечения кривой с прямой y = ax + b не превосходит числа точек пересечения этой же прямой с характеристической ломаной.

Аппроксимация кривой с помощью В-сплайнов позволяет сгладить недостатки метода Безье, в котором форма и степень кривой зависят от количества опорных точек. Эти недостатки можно полностью устранить, если при конструировании кривых использовать модифицированные нормализованные В-сплайн-функции.

Нормализованная В-сплайн-функция определяется выражением

N_{i, k} (u) = N_{i, k-1} (u) + N_{i+1, k-1} (u),

и oблaдaeт cлeдyющими cвoйcтвaми:

- = 1 (выпуклая оболочка);

- нa кaждoм oтpeзкe N_{i, k} (u) являeтcя мнoгoчлeнoм cтeпeни (k - 1);

- нa интepвaлe (0, n) N_{t, k} (u) являeтcя (k–2) paзa непрерывнодифференцируемой функцией;

N_{i, k} (u) = 0 для u < i;

N_{i, k} (u) = 0 для u ≥ i + k.

На рисунке 6.17 представлены В-сплайн-функции для k = 1, 2, 3, 4.

Рисунок 6.17 - В – сплайн с равномерными распределениями

узлов для U = 1.2.3.4

В-сплайны могут быть периодическими и непериодическими. Для непериодических В-сплайн-функций множество узлов задается следующим образом:

U = (u₀, …, u_n), где u_i ≠ u_j.

Рисунок 6.18 – Периодический В-сплайн на множестве узлов U = (u0, u1 u2 u3 u4 = u0)	Рисунок 6.19 – Непериодические В-сплайны на множестве узлов U = (u0, = u1 = u2 ….u3 u7 = u8) для k =3

На рисунке 6.18 приведен пример замкнутого множества узлов, в котором узлы расположены на равном расстоянии друг от друга.

В-сплайны с кратными узлами являются непериодическими функциями (рисунок 6.19). Как видно из рисунка 6.19, В-сплайн-функция N₀₃ состоит из сегмента с кратными узлами u₀, u₁, u₃.

В-сплайн-функция третьего порядка, записанная в матричной форме, имеет вид:

N_{1, 3} = .

Если заданы вершины характеристической ломаной P_i и нормализованные периодические В-сплайн-функции k-го порядка N_{i, k}, то кривую можно определить с помощью линейной комбинации нормализованных периодических В-сплайнов в следующем виде:

Q (u) = .

Учитывaя cooтвeтcтвиe тoчeк лoмaнoй P_i и кpивoй Q_i, пoлyчaeм cвoйcтвo пepиoдичнocти кpивoй:

Q (u_i) = ,

или в матричном виде

Q = N^TP.

Любая кривая состоит из (m – k + 1) сегментов, каждый из которых можно определить с помощью k последовательных опорных точек. Сегмент i-й определяется опорными точками с i по i + k – 1. Одна опорная точка может использоваться при определении сегментов не более k раз. Следовательно, если кривую порядка k представить в виде линейной комбинации В-сплайнов, то изменение коэффициента у одного из В-сплайнов влечет за собой изменения только на k сегментах кривой, т. е. аппроксимация В-сплайнами обеспечивает локальную модификацию кривой.

Каждый сегмент кривой Q_l находится внутри выпуклой оболочки, которая определяется множеством опорных точек с P_l по P_{l + k – 1}.

В первом приближении характеристическая ломаная передает форму кривой. По виду ломаной можно сделать выводы о свойствах кривой. Кривая имеет максимум столько экстремумов и точек перегиба, сколько соответствующая ей ломаная, а также содержит петли, если они есть у ломаной. Если k последовательных вершин ломаной коллинеарны, то соответствующий сегмент кривой, построенный с помощью В-сплайнов, совпадает с одним из звеньев ломаной. Это означает, что кривая может содержать прямолинейные сегменты. Если у кривой имеется (k -1) коллинеарных опорных точек, то соответствующее звено ломаной является касательной к кривой.

Введение кратного узла уменьшает порядок гладкости сплайна в этом узле. Если у кривой имеется узел кратности (k - 1), то совпадают (k - 2) звена характеристической ломаной и они являются касательной к кривой. Поэтому у сплайна первая производная имеет разрыв в (k - 1)-кратном узле. Однако параметрические производные являются непрерывными до порядка (k - 2) в этом узле.

Обобщив сказанное выше, получим следующие свойства кривой, построенной с помощью В-сплайнов:

• кривая определяется линейной комбинацией сплайн-функций, коэффициентами которой являются координаты опорных точек P_i = (P_x, P_y, P_z);

• кривая является кусочно-полиномиальной;

• локальное изменение опорных точек не приводит к модификации всей формы кривой;

• кривая находится внутри выпуклой оболочки;

• кривая может содержать прямолинейные отрезки;

• возможно задание координат вершин характеристической ломаной;

• возможно распознание нежелательных экстремумов и петель кривой по виду характеристической ломаной.