План занятия:
1. Организационный момент.
2. Объяснение нового материала.
3.Усвоение и закрепление нового материала.
Решение практических заданий
№1. Составить уравнение прямой,
проходящей через точку
и пересекающей ось
под прямым углом.
Решение.
Так как прямая перпендикулярна оси
и пересекает ее, то она проходит через
точку
.
Составив уравнение прямой, проходящей
через точки
и
,
получаем
.
№2. Уравнения прямых
и
привести к каноническому виду.
Решение.
Исключив сначала
,
а затем
,
имеем
и
.
Если решить каждое из уравнений
относительно
,
то получим
,
то есть
.
№3. Составить уравнения прямой,
проходящей через точку
и перпендикулярной векторам
.
Решение.
Прямая параллельна вектору
,
поэтому она определяется уравнениями
.
№4. Составить уравнения прямой,
проходящей через точку
и параллельной вектору
.
Решение.
Воспользуемся каноническими уравнениями прямой.
Полагая:
,
получаем
.
№5.Составьте уравнение прямой,
проходящей через две данные точки, если:
а)
и
;
б)
и
.
№6.Для прямой
напишите ее уравнение в отрезках.
№7. Найдите точки пересечения прямой с осями координат и постройте эту прямую:
а)
;
б)
.
№8. Составьте уравнение прямой,
проходящей через точку
,
если площадь треугольника, очерченного
прямой и осями координат, равна 16.
№9.. Какая из прямых:
или
- отсекает на оси ординат больший отрезок?
№10. Постройте прямую, проходящую
через точку
перпендикулярно вектору
.
№11.1 Прямая задана уравнением
.
Укажите какую-нибудь точку прямой и ее
нормальный вектор.
№12. Среди прямых
выделите ту прямую, которая перпендикулярна
вектору
.
№13. Постройте прямую, проходящую
через точку
перпендикулярно вектору
.
№14. Через точки пересечения прямой
с осями координат проведены перпендикуляры
к этой прямой. Напишите их уравнения.
4. Подведение итогов занятия.
5. Постановка домашнего задания.
Занятие №9. Уравнение плоскости. Расположение прямых и плоскостей. Угол между прямыми и плоскостями. Расстояние от точки до прямой и плоскости.
План занятия:
1. Организационный момент.
2. Объяснение нового материала.
3.Усвоение и закрепление нового материала.
Решение практических заданий
№1. Записать уравнение плоскости,
проходящей через точку
,
нормальный вектор которой образует с
осями
прямоугольной декартовой системы
координат углы
.
Решение.
Найдем сначала координаты нормального
вектора плоскости. В качестве нормального
вектора возьмем единичный вектор
,
тогда его координаты будут равны
направляющим косинусам, то есть
.
В соответствии с формулой
,
получаем:
или
.
№2. Составить уравнение плоскости,
проходящей через две точки
,
перпендикулярно плоскости
.
Решение.
Так как искомая плоскость проходит
через точку
,
то ее уравнение можно представить в
виде
.
Координаты
нормального вектора
этой плоскости определим из следующих
условий:
искомая плоскость перпендикулярна плоскости ,
искомая плоскость проходит через точку .
Эти два условия приводят к уравнениям:
,
.
Выражая из этих уравнений
и
через
,
находим:
.
Подставляя значения
и
в уравнение, получаем:
или
.
Следовательно, уравнение плоскости
имеет вид:
.
№3. Две грани куба лежат соответственно
на плоскостях
,
.
Вычислить объем данного куба.
Решение.
Достаточно найти длину ребра куба,
равную расстоянию между данными
параллельными плоскостями. Это расстояние
равно расстоянию от любой точки одной
плоскости до другой плоскости. Выберем
на первой плоскости произвольную точку.
Приняв, например, что
из уравнения
найдем
.
Далее найдем расстояние от точки до плоскости :
.
Поскольку
и
,
то
куб.ед.
№4. Составьте уравнение плоскости,
которая проходит через точку
параллельно заданной плоскости, если:
а)
,
;
б)
,
;
в)
,
.
№5. Найдите уравнение плоскости,
которая проходит через точку
и ось абсцисс.
№6. Найдите уравнение плоскости,
проходящей через точку
перпендикулярно прямой
.
№7. Найдите расстояние от точки до
плоскости: а)
;
б)
.
№8. Вычислите расстояние между
параллельными плоскостями: а)
и
;
б)
и
.
4. Подведение итогов занятия.
5. Постановка домашнего задания.
Занятие №10. Кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола).